Matematik

Üstlü İfadeler

a bir reel sayı (gerçel) sayı ve n pozitif bir tam sayı olsun.

a.a.a.a....a = an

olacak şekilde, n tane a nın çarpımı olan an ye üslü ifade denir.

Örnek:

3.3.3.3.3 = 35

Kural:

  1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a0 = 1 dir.
  2. 00 ifadesi tanımsızdır.
  3. 1n = 1dir. n Î IR
  4. amn ifadesi belirsizdir.

Üssün Üssü

Bir üstlü ifadenin üssü, üstlerin çarpımıdır. 

(an)m = (am)n = am.n

Örnek:

2x = y 

olduğuna göre, 8x in y türünden değerini bulalım.

Çözüm:

8x = (23)x

     = (2x)3

     = y3 tür.

Negatif Üs

a bir reel sayı olmak üzere,

a-n = (1 / an) dir.

Benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,

(a / b)n = (b / a)-n dir.

Bir Reel Sayının Üssü

  • Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ⇒ an > 0 dır.
  • Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ve n çift sayı ise (-a)n = an > 0
  • Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. a > 0 ve n tek sayı ise (-a)n = -an < 0 dır.

Üstlü İfadelerde Dört İşlem

  1. Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin toplamı, katsayıların toplamı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir. a.xn + b.xn = (a + b).xn dir. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler toplanamaz
  2. Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin farkı, katsayıların farkı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir. a.xn - b.xn = (a - b).xn dir. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler arasında çıkarma işlemi yapılamaz.
  3. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için; üsler toplamı ortak tabanın üssü olarak yazılır. am.an = am+n dir.
  4. Üstleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır. an.bn = (a.b)n dir.
  5. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır. (am / an) = am-n dir.
  6. Üsleri eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; payın tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır. (am / bm) = (a / b)m dir.

 Üstlü Denklemler

1. Tabanları Eşit olan Denklemler

Tabanları eşit olan üslü ifadelerin birbirine eşit olması için üstlerinin de birbirine eşit olması gerekmektedir.

a ≠ 0, a ≠ -1, a ≠ 1 olmak üzere,

am = an ⇒ m = n dir.

Örnek:

2x = 25 ⇒ x = 5 dir

Örnek:

3x-7 = 9x+2

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:

3x-7 = 9x+2

3x-7 = (32)x+2

3x-7 = 32x+4

   x-7 = 2x + 4

     x  = -11

2. Üstleri Eşit Olan Denklemler

Üstleri eşit olan denklermlerde üs tek sayı ise tabanlar eşit, üst çift sayı ise tabanlar ya eşit ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve an = bn ⇒ a = b dir.

n çift sayı ve an = bn ⇒ a =b ya da a = -b dir.

Örnek:

x3 = 73 ise x = 7 dir.

x-4 = 5-4 ise x = 5 ya da x = -5 dir.

Örnek:

(x + 7)3 = (3x -11)3

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:

Üst tek sayı olduğu için tabanlar eşit olmak zorundadır.

x + 7 = 3x - 11

 2x = 18

x = 9 dur.

Örnek:

(2x + 3)4 = (x - 2)4

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:

Üst çif sayı olduğu için tabanlar ya eşit yada zıt işaretlidir.

2x + 3 = x -2 ise

x = -5 olur.

2x + 3 = -(x - 2)

2x + 3 = 2 - x

3x = -1

x = -1 / 3 olmalıdır.

O halde x değeri -5 veya -1 / 3 değerlerini alabilir.

3. xn = 1 Denklemi

xn = 1 denkleminin çözümünde 3 durum vardır

                 ⇒ x = 1                                1. durum

xn = 1      ⇒ x ≠ 0 ve n = 0                  2. durum 

                ⇒ x = -1 ve n çift sayı         3. durum

Örnek:

53x-15 = 1

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:

53x-15 = 1 ifadesinde eşitliğin sağlanabilmesi için üssün 0 olması gerekiyor

3x - 15 = 0

x = 5 olmalıdır.

Örnek:

(x + 3)x-2 = 1

eşitliği sağlayan x değerlerini bulalım

                               ⇒ x +3 = 1                                      1. durum

(x +3)x-2 = 1             ⇒ x +3 ≠ 0 ve x -2 = 0                   2. durum 
                               ⇒ x + 3 = -1 ve x -2 çift sayı         3. durum

1. durum

x + 3 = 1 için x = -2 olmalıdır.

2. durum

x +3 ≠ 0 ve x -2 = 0   için x = 2 olmalıdır.

3. durum

 x + 3 = -1 ve x -2 çift sayı için x = -4 olmalıdır.

O halde x in alabileceği değerler -4, -2 ve 2 dir.