Matematik

Fonksiyon

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A nın her elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. Bu yüzden fonksiyonların iyi anlaşılması için bağıntı konusunun iyi öğrenilmesi gerekir. 

x ∈ A ve y  B olmak üzere A'dan B'ye bir fonksiyon f ise:

f : A → B, A →f B, x → y = f(x) biçiminde gösterilir.

 A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi B kümesine de f fonksiyonunun değer kümesi denir.

A tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir.

Tanıma göre, A dan B ye bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

  1. A tanım kümesindeki hiç bir elemanın boşta kalmaması
  2. A tanım kümesindeki her elemanın B değer kümesinde yalnız bir görüntüsünün olması gerekir.

Fonksiyon Türleri

İçine Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda

f(A) ⊂ B ise f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. (Yani B değer kümesinde açıkta eleman varsa buna içine fonksiyon denir.)

Örten Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

Birebir Fonksiyon

 f : A → B bir fonksiyon olsun.

A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima ise, yani A nın farklı elemanları B nin farklı elemanlarıyla eşleniyorsa, f fonksiyonuna bire-bir (1 - 1) fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonunda

  1. x1, x2  A için x1 ≠ x2 ⇒ f(x1≠ f(x2)  ya da
  2. x1, x2  A için  f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 önermelerinden biri doğru is f fonksiyonu bire-bir dir.

Sabit Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A tanım kümesinin her elemanı B değer kümesinde aynı elemanla eşleşiyorsa, diğer bir deyişle A tanım kümesindeki bütün elemanlarının görüntüleri aynı ise f fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Hatırlatma:

f : R → R ve h : R → R fonksiyonlarının grafikleri x-eksenine paralel birer doğru ve g : Z → Z fonksiyonunun grafiğinde; yine x-eksenine paralel hayali bir doğru üzerindeki noktalardan oluşur.

Birim Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi oluyorsa, yani " A için f(x) = x ise f fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve IA yada I ile gösterilir.

Hatırlatma:

I : R → R, f(x) = x birim fonksiyonunun grafiği birinci açıortay doğrusudur.

Eşit Fonksiyonlar

I : A → A, g : A → B fonksiyonları verilmiş olsun.

" A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

 f : R → R, y = f(x) fonksiyonunda, 

  1. " R için f(-x) = f(x) ise f e çift fonksiyon denir.
  2. " R için f(-x) = -f(x) ise f e tek fonksiyon denir.

Fonksiyonların Toplamı, Farkı, Çarpımı ve Bölümü

f : A → R, g : B → R fonksiyonları için:

 B ≠ ∅ olsun.

  1. f + g : A  B → R; (f + g)(x) = f(x) + g(x) fonksiyonuna f ile g'nin toplamı denir.
  2. f - g : A  B → R; (f - g)(x) = f(x) - g(x) fonksiyonuna f ile g'nin farkı denir.
  3. f . g : A  B → R; (f . g)(x) = f(x) . g(x) fonksiyonuna f ile g'nin çarpımı denir.
  4. g(x) ≠ 0, f / g : A ∩ B → R; (f / g)(x) = f(x) / g(x) fonksiyonuna f'nin g'ye bölümü denir.
  5. ∈ R olmak üzere ; k . f : A → R (k.f)(x) = k . f(x) fonksiyonuna k ile f'nin çarpımı denir.

Bir Fonksiyonun Tersi

f : A → B, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

f-1 : B → A, x = f-1(y) bağıntısına, (B den A ya olan bağıntıya) f nin ters fonksiyonu denir.

  • f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten ise; f nin tersi olan f-1 : B → A bağıntısı da fonksiyondur.
  • f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten fonksiyon ise; f nin tersi olan f-1 : B → A bağıntısı da bire-bir ve örten fonksiyondur.
  •  f fonksiyonu bire-bir ve örten değilse; f-1 bağıntısı fonksiyon değildir.

Bileşke Fonksiyon

 f : A → B,                 y = f(x)

g : B → C,                z = g(y) olmak üzere

gof : A → C,

(gof)(x) = g(f(x)) fonksiyonuna f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir ve gof diye yazılır. (gof : Yazılışı g bileşke f diye okunur. )

Bileşke İşleminin Özellikleri:

  • Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ≠ gof
  • Bileşke işleminin değişme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh
  • I birim fonksiyon olmak üzere, foI = lof = f dir.
  • fof-1 = f-1of = I dir.
  • (fog)-1 = g-1of-1 dir.
  • (f-1)-1 = f dir.

Permütasyon Fonksiyon

A sonlu bir küme olmak üzere f : A → A fonksiyonu bire-bir ve örten ise f fonksiyonuna A'nın bir permütasyonu denir.

Hatırlatma:

s(A) = n ise A nın permütasyonlarının sayısı n! kadardır.

A dan B ye Bağıntı ve Fonksiyon Sayıları

 f : A → B fonksiyonunda

s(A) = m, s(B) = n ise;

  1. A dan B ye tanımlı fonksiyonların sayısı nm dir. 
  2. Bire-bir fonksiyonların sayısı n ≥ m olmak üzere P(n, m) = n! / (n - m)! dir.
  3. Sabit fonksiyonların sayısı n dir.
  4. A da tanımlanabilecek bire-bir ve örten fonksiyonların sayısı P(m, m) = m! dir.
  5. A kümesinde tanımlı bire-bir ve örten olmayan fonksiyonların sayısı mm - m! dir.
  6. A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m.n - nm dir.