Üstlü İfadeler

a bir reel sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere n tane sayının yanyana çarpılması a nın n. kuvveti olarak adlandırılır. Bu tür ifadelerde çarpılan sayıya (a) taban, çarpılma adedine (n) kuvvet (üs) ve ifadelere de üslü ifade denir.

Üslü İfadelerin Özellikleri

1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a⁰ = 1 dir.

Örnek:

5⁰ = 1

153⁰ = 1

2. 0⁰ ifadesi tanımsızdır.
3. 1ⁿ = 1 dir. n Î IR

Örnek:

1²³⁴ = 1

1⁴⁵ = 1

4. amn ifadesi belirsizdir. Çünkü n sayısının; m nin üssü mü yoksa am nin üssü mü olduğu belli değildir.
5.  Bir üstlü ifadenin üssü, üstlerin çarpımıdır. (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^m.n dir.

Örnek:

(2²)³ = (2³)² olduğunu gösterelim.

Çözüm:

(2²)³ = 2⁶ = 4³ = 64

(2³)² = 2⁶ = 8² = 64

6. a bir reel sayı olmak üzere, a^-n = (1 / aⁿ) dir. Benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,   (a / b)ⁿ = (b / a)^-n dir.

7. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ⇒ aⁿ > 0 dır.

8. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ve n çift sayı ise (-a)ⁿ = aⁿ > 0 dır.

Örnek:

(-3)² = 3² = 9 > 0

(-5)⁴ = 5⁴ = 625 > 0

9. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. a > 0 ve n tek sayı ise (-a)ⁿ = -aⁿ < 0 dır.

Örnek:

(-2)³ = -2³ = -8 < 0

10.  Tabanları ve üsleri aynı olan ifadeleri toplarken yada çıkarırken ifadeyi üslü ifade parantezine alıp işlemi katsayılar arasına uyguluyoruz.  a.xⁿ ± b.xⁿ = (a ± b).xⁿ dir.

Örnek:

5.10⁴ - 2.10⁴ = (5 - 2)10⁴ = 3.10⁴

7.4⁵ + 4⁵ = (7 + 1).4⁵ = 8.4⁵ = 2.4⁶

11. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler arasında çıkarma ya da toplama işlemi yapılamaz.

12. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için; üsler toplamı ortak tabanın üssü olarak yazılır. a^m.aⁿ = a^m+n dir.

Örnek:

10³.10⁵ = 10^{(5 + 3)} = 10⁸

5⁴.5^-1 = 5^{(4 - 1)} = 5³

13. Üstleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır. aⁿ.bⁿ = (a.b)ⁿ dir.

Örnek:

2⁸.5⁸ = (2.5)⁸ = 10⁸

2³.5³.3³ = (2.5.3)³ = (30)³ = 27000

Örnek:

3^x = p

olduğuna göre 9^x+1 ifadesinin p türünden değerini bulalım.

Çözüm:

9^x+1 = 9^x.9¹

         = (3²)^x.9

         = (3^x)².9

         = 9p²

14. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır. (a^m / aⁿ) = a^m-n dir.

15. Üsleri eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; payın tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır. (a^m / b^m) = (a / b)^m dir.

Örnek:

15^a = 3^a-2

olduğuna göre, 5^a nın değerini bulalım.

Çözüm:

15^a = 3^a-2 ⇒ (3.5)^a = 3^a.3^-2

3^a.5^a = 3^a.3^-2

5^a = 3^-2

16. Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir a ≠ 0, a ≠ -1, a ≠ 1 olmak üzere, a^m = aⁿ ⇒ m = n dir.

17. Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanlar eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanlardan biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. 

18. xⁿ = 1 ise ya x = 1 dir, ya n = 0 dır yada n çift sayı x = -1 dir.