Matematik

Üstlü İfadeler

a bir reel sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere n tane sayının yanyana çarpılması a nın n. kuvveti olarak adlandırılır. Bu tür ifadelerde çarpılan sayıya (a) taban, çarpılma adedine (n) kuvvet (üs) ve ifadelere de üslü ifade denir.

Üslü İfadelerin Özellikleri

  1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a0 = 1 dir.

Örnek:

50 = 1

1530 = 1

  1. 00 ifadesi tanımsızdır.
  2. 1n = 1 dir. n Î IR

Örnek:

1234 = 1

145 = 1

  1. amn ifadesi belirsizdir. Çünkü n sayısının; m nin üssü mü yoksa am nin üssü mü olduğu belli değildir.
  2.  Bir üstlü ifadenin üssü, üstlerin çarpımıdır. (an)m = (am)n = am.dir.

Örnek:

(22)3 = (23)2 olduğunu gösterelim.

Çözüm:

(22)3 = 26 = 43 = 64

(23)2 = 26 = 82 = 64

  1. a bir reel sayı olmak üzere, a-n = (1 / an) dir. Benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,   (a / b)n = (b / a)-n dir.

  2. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ⇒ an > 0 dır.

  3. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ve n çift sayı ise (-a)n = an > 0 dır.

Örnek:

(-3)2 = 32 = 9 > 0

(-5)4 = 54 = 625 > 0

  1. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. a > 0 ve n tek sayı ise (-a)n = -an < 0 dır.

Örnek:

(-2)3 = -23 = -8 < 0

  1.  Tabanları ve üsleri aynı olan ifadeleri toplarken yada çıkarırken ifadeyi üslü ifade parantezine alıp işlemi katsayılar arasına uyguluyoruz.  a.xn ± b.xn = (a ± b).xn dir.

Örnek:

5.104 - 2.104 = (5 - 2)10= 3.104

7.45 + 45 = (7 + 1).45 = 8.45 = 2.46

  1. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler arasında çıkarma ya da toplama işlemi yapılamaz.

  2. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için; üsler toplamı ortak tabanın üssü olarak yazılır. am.an = am+n dir.

Örnek:

103.105 = 10(5 + 3) = 108

54.5-1 = 5(4 - 1) = 53

  1. Üstleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır. an.bn = (a.b)n dir.

Örnek:

28.58 = (2.5)8 = 108

23.53.33 = (2.5.3)3 = (30)3 = 27000

Örnek:

3x = p

olduğuna göre 9x+1 ifadesinin p türünden değerini bulalım.

Çözüm:

9x+1 = 9x.91

         = (32)x.9

         = (3x)2.9

         = 9p2

  1. Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır. (am / an) = am-n dir.

  2. Üsleri eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; payın tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır. (am / bm) = (a / b)m dir.

Örnek:

15a = 3a-2

olduğuna göre, 5a nın değerini bulalım.

Çözüm:

15= 3a-2 ⇒ (3.5)a = 3a.3-2

3a.5a = 3a.3-2

5a = 3-2

  1. Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir a ≠ 0, a ≠ -1, a ≠ 1 olmak üzere, am = an ⇒ m = n dir.

  2. Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanlar eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanlardan biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. 

  3. xn = 1 ise ya x = 1 dir, ya n = 0 dır yada n çift sayı x = -1 dir.