Matematik

Sıralı İkili

a ve b gibi herhangi iki nesneden birinin diğerinden önce (örneğin a'nın) gelmesi önemli ise, bu durum (a, b) şeklinde gösterilir. Buna sıralı ikili denir. Sıralı ikililerde sıra önemlidir.

(a, b) (b, a) olduğu halde

{a, b} = {b, a} dır.

Bileşenleri aynı olan ikililere özdeş ikililer denir.

Yani : (a, b) = (c, d) ise

a = c, b = d dir.

(a, b) ikilisinde a'ya birinci bileşen b'ye ikinci bileşen denir.

Kartezyen Çarpım

A ve B gibi herhangi iki kümeden, birinci bileşeni A'dan ikinci bileşeni B'den alınmak, suretiyle oluşturulan sıralı ikililerin tümünün kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Kısaca,

A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} dir.

Uyarı:

Kartezyen çarpımının her elemanı bir sıralı ikili ve sıralı ikililerde sıra önemli olduğuna göre;

A x B ≠ B x A dır. Yani kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

A ve B kümelerinin eleman sayıları, s(A) = m ve s(B) = n ise;

s(A x B) = s(A).s(B) = m.n dir.

Uyarı:

s(A x B) = s(B x A) olduğunu unutmayınız.

Kartezyen Çarpımın Şeması

A = {a, b, c} ve B = {3, 4} ise

A x B = {(a,3), (a, 4), (b, 3), (b, 4), (c, 3), (c, 4)} kartezyen çarpımının şeması aşağıdaki gibidir.

kartezyen çarpımı şeması

Kartezyen Çarpımının Grafiği

A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} ise;

A x B yazılışında A'nın elemanları yatay (apsis) eksende, B'nin elemanları düşey (ordinat) eksende, B x A yazılışında ise B'nin elemanları yatay (apsis) eksende, A'nın elemanları düşey (ordinat) eksende işaretlenir.

Kısaca; İlk harfe ait elemanlar yatay (apsis), ikinci harfe ait elemanları da düşey (ordinat) eksende gösterilir.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

  • A x B ≠ B x A (Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.)
  • A x (B x C) = (A x B) x C (Birleşme özelliği vardır.)
  • A x (B U C) = (A x B) U (A x C) 
  • A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) (Dağılma özelliği vardır.)

A ve B kümeleri verildiğinde;

  1. Her iki kümenin elemanları da sayılamayan (sonsuz) çoklukta ise A x B ve B x A nın grafiği bir alan oluşturur.
  2. A'nın elemanları sayılamaz, B'nin elemanları sayılabilir çoklukta ise A x B nin grafiği x-eksenine paralel doğrular,
  3. A'nın elemanları sayılabilir, B'nin elemanları sayılamaz çoklukta ise A x B nin grafiği y-eksenine paralel doğrular oluşturur.

Bağıntı

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B kartezyen çarpımı kümesinin β gibi herhangi bir alt kümesine, A dan B ye bağıntı denir.

A = {a, b}, B = {1, 2, 3} kümeleri için;

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b,3)} kartezyen çarpımının her alt kümesi, A dan B ye bir bağıntıdır. Bu bağıntıların bazıları aşağıda gösterilmiştir.

β1 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3)}

β2 = {(b, 1)}

β3 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}

β4 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

β4 bağıntısından da anlaşılabileceği gibi A x B kümesinin kendisi de aynı zamanda bir bağıntıdır.

A x B kümesi 6 elemanlı olduğundan A x B nin 26 = 64 tane alt kümesi vardır. Bu 64 tane kümenin her biri A'dan B'ye bağıntıdır.

s(A) = m, s(B) = n ise A'dan B'ye yada B'den A'ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2m.n tanedir.

Kartezyen çarpımın değişme özelliği olmadığından bir bağıntının belirtilebilmesi için, o bağıntının kuralının bilinmesi gereklidir. Yani A'dan B'ye mi yoksa B'den A'ya mı olduğu bilinmelidir.

Bir Bağıntının Tersi

A'dan B'ye tanımlanan bir β bağıntısındaki ikilileri yer değiştirerek B'den A'ya yeni bir bağıntı elde edebiliriz. Elde edilen bu yeni bağıntıya β'nin ters bağıntısı denir ve β-1 ile gösterilir. Kısaca;

β = {(x, y) : x  ∈ A, y  ∈ B}

β-1 = {(y, x) : x  ∈ A, y  ∈ B}

Bağıntının Özellikleri

Bir kümede tanımlı bağınıtının aşağıdaki özellikleri vardır.

I. Yansıma Özelliği

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

"x ∈ A için (x, x) ∈ β ise β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir. Ya da β yansıyan bağıntıdır denir. 

n elemanlı bir A kümesi verilmiş olsun.

m = nise

  • A da tanımlı tüm yansıyan bağıntıların sayısı 2 m-n tane olur.
  • β yansıyan bir bağıntı ise β nin kartezyen diyagramında y = x üzerinde n tane nokta vardır. 

II. Simetri

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

"(x, y) ∈ β iken (y, x) ∈ β ise β simetriktir ya da β bağıntısında simetri özelliği vardır denir. 

  • β simetrik bağıntı ise β = β-1 dir.
  • n elemanlı bir A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntıların sayısı 2n.(n+1)/2 tanedir.
  • n elemanlı  bir A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan ve simetrik bağıntıların sayısı 2(n²-n)/2 tanedir.

 III. Ters - Simetri

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

  • x ≠ y için "(x, y) ∈ β iken (y, x) ∉ β ise veya
  • "(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken x = y oluyorsa, β bağıntısı ters-simetriktir. 

Uyarı:

  1. Ters-simetrik olmayan bir bağıntının simetrik, simetrik olmayan bir bağıntının ters-simetrik olması gerekmez
  2. Ters-simetrik bir bağıntıda bileşenleri aynı olan ikililerin bulunması, ters simetriğe aykırı değildir.
  3. Ters-simetrik bir bağıntının grafiğinde y = x doğrusuna göre simetrik eleman yoktur.

IV. Geçişme

 β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken (x, z) ∈ β oluyorsa, β geçişken bir bağıntıdır ya da β bağıntısında geçişme özelliği vardır.

Özel Bağıntılar

Denklik Bağıntısı

A'da tanımlı bir bağıntının 

  1. Yansıma
  2. Simetri
  3. Geçişme

özellikleri varsa bu bağıntıya denklik bağıntısı denir.

Sıralama Bağıntısı

A'da tanımlı bir bağıntının

  1. Yansıma
  2. Ters-simetri
  3. Geçişme

özellikleri varsa bu bağıntıya sıralama bağıntısı denir.