Matematik

Kümeler

Kümenin kesin bir tanımı yoktur. Matematikte küme tanımsız bir kavram olmakla beraber, küme denince aklımıza  nesnelerden meydana gelen topluluk gelir.

Küme kavramını örneklerle açıklayalım.

Örnek:

A = { 1, 3, a, 4} bir kümedir. 1, 3, a, 4 bu kümenin elemanlarıdır. A kümesinin 4 tane elemanı vardır. Bunu s(A) = 4 şeklinde yazarak belirtiriz. Bir elemanın kümeye ait olduğunu ∈, ait olmadığını ∉ işaretiyle belirtiriz.

1∈ A, 3 ∈ A, a ∈ A, 4 ∈ A, 5 ∉A dır.

Örnek:

A = { #, 2, {1, 3}, 4} kümesi 4 elemanlıdır.

Yani s(A) = 4 tür.

 # ∈ A, 2 ∈ A, {1, 3} ∈ A, 4 ∈ A dır. Ancak  1 ∉ A ve 3 ∉ A dır.

Liste Yöntemi

Kümenin bütün elemanlarını { } sembolü içerisine yazarak belirttiğimiz kümeye liste yöntemi ile gösterim diyoruz.

Örnek:

A = { 3, 6, 7, 8, 12}

B = { a, x, y, z, t, k}

C = { Mehmet, Hasan, Mustafa, Kemal, Osman, Ali, Zeynep, Gonca}

D = { keçi, koyun, tavuk, inek, at, zebra}

kümeleri liste yöntemi ile gösterilmiştir.

Ortak Özelik Yöntemi

Kümelerin elemanlarının ortak özelliğini belirterek yazdığımız kümeye ortak özellik yöntemi ile yazılmış küme denir.

Örnek:

A = { x | x, haftanın günleri}

B = { x | x, sınıfımızdaki gözlüklü erkek öğrenciler}

C = { x | -3 < x <20, x tek sayı }

kümeleri ortak özelik yöntemi kullanılarak yazılmış kümelerdir.

Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } veya ∅ simgesi ile gösterilir.

s(A) = 0 dır. Yani boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Örnek:

A = {0} kümesi boş küme değildir.

0 ∈ A dır ve s(A) = 1 dir.

B = {∅} kümesi boş küme değildir. ∅ ∈ B dir. s(B) = 1 dir.

C = { x | x2 + 4 = 0, x reel sayı} kümesi boş kümedir.

Çünkü x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = -4 olur. Karesi sıfırdan küçük bir sayıya eşit olan bir reel sayıl olmadığı için C kümesi boş kümedir.

C = ∅ dir. s(C) = 0 dır.

Eşit Kümeler

 Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

Örnek:

A = { x : 2 < x < 8, x asal sayı }

B = { x : 2 ≤ x < 9, x tek sayı }

kümelerini karşılaştıralım.

A = { 3, 5, 7 } ve

B = { 3, 5, 7 } olur.

A ve B kümlerinin bütün elemanları aynı olduğundan A = B ve s(A) = s(B) dir.

Venn Şeması

Kümenin elemanlarını kapalı eğrilerle çevrilmiş düzlem parçaları ile belirtmeye, kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.

Örnek:

A = { a, b, c, d }

B = { Mehmet, Cihat, Süleyman }

kümeleri Venn şeması ile

venn şeması

şeklinde gösterilir.

Alt Küme

 Bir B kümesinin bütün elemanları bir A kümesinin de elemanları ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir. B ⊂ A şeklinde yada A ⊃ B şeklinde gösterilir, A kapsar B diye okunur.

Örnek:

A = { a, b, c, d, e}  ve

B = { a, d, e } ise

A kümesi B kümesini kapsar. Yani B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

B ⊂ A veya A ⊃ B şeklinde gösterilir.

Bunun venn şeması ile gösterimi

alt küme

şeklindedir.

Örnek:

A = { 1, 2, 3, 4, 5}

B = { 1, 3, 5, 7} ise B kümesinin 1, 3, 5 elemanları A kümesinin de elemanıdır. Ancak elemanlarından 7 A kümesinin elemanı değildir. O halde A kümesi B kümesini kapsamaz.

Alt Küme Özellikleri:

  1. ∅ = { } = boş küme, her kümenin alt kümesidir
  2. Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊃ A, B ⊃ B, ∅ ⊃ ∅ gibi
  3. İki kümeden her biri diğerinin alt kümesi ise bu iki küme eşittir. A ⊃ B ve B ⊃ A ise A = B dir.
  4. A ⊃ B ve B ⊃ C  ise A ⊃ C dir.

Alt küme sayısı:

Bir kümenin eleman sayısı: n ise

Alt küme sayısı: 2n

Öz alt küme sayısı: 2n - 1 tanedir.

Örnek:

A = { 1, a, {2, 3}, 4, #, b} kümesinin

eleman sayısı: s(A) = 6

alt küme sayısı: 26 = 64

öz alt küme sayısı: 26 - 1 = 63 dür.

Uyarı:

n ve r doğal sayı ve n ≥ r ise

C( n, r ) = n! / (n - r)!. r! dir.

Bu bilgiyi n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını bulurken kullanacağız.

Örnek:

A = {a, b, c, d, e} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

s(A) = 5 tir.

C(5, 2) = 5! / (5 - 2)!. 2!

= 120 / 12

= 10 dur.

Örnek:

32 tane alt kümesi bulunan bir A kümesinin en fazla 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı: 2n dir.

2n = 64 ise

2n = 26 ise n = 6 dır.

Bizden istenen alt kümeler: 0 elemanlı, 1 elemanlı ve 2 elemanlıdır.

0 elemanlı alt küme satısı: 1( boş küme)

1 elemanlı alt küme sayısı: 5(eleman sayısı kadar)

2 elemanlı alt küme sayısı: C(5, 2) = 5! / (5 - 2)!. 2! = 5.4.3.2.1 / 3.2.1.2.1 = 10 dur.

1 + 5 + 10 = 16

Kümelerin Birleşimi

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından birer tane (ortak eleman varsa) ortak olmayan elemanların tamamı alınarak oluşturulan yeni kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir.

A U B = { x ∈ A veya x ∈ B} biçiminde yazılır.

A U B kümesi venn şeması ile

kümelerin bileşimi

şeklinde gösterilir. Taralı bölgenin tamamı A U B kümesidir.

Birleşimin Özellikleri

  1. A U A = A dır.
  2. A U ∅ = ∅ U A = A dır.
  3. A U B = B U A (Değişme)
  4. (A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C (Birleşme)
  5. A ⊂ A U B, B ⊂ A U B

Kümelerin Kesişimi (Ara Kesit)

A ve B kümeleri verilsin. A ve B kümelerinin ortak elemanlarını alarak oluşturulan yeni kümeye A kesişim B kümesi denir.

 A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B } biçiminde yazılır.

 C ∩ D = ∅ ise C ve D kümelerinin ortak elemanı yoktur. Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

Kesişim kümesi ile ayrık kümeler venn şeması ile

kesişim kümesi, ayrık kümeler

biçiminde gösterilir.

 Örnek:

A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} ve

B = { x | 2x -5 < 7, x doğal sayı} ise A ∩ B kümesini bulalım.

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {0, 1, 2, 3} bulunur.

Venn şeması ile

kesişim kümesi

 biçiminde gösterilir.

Kesişimin Özellikleri

  1.  A ∩ A = A
  2. A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ dır.
  3. A ∩ B = B ∩ A (Değişme)
  4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C (Birleşme)
  5. A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B

Kümelerin kesişim ve birleşimi ile ilgili bağıntılar:

  1. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
  2. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
  3. s(A U B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
  4. s(A U B U C) = s(A) + s(B) s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

Tümleme

Bir kümenin tümleyeninden söz edebilmek için ilk önce evrensel küme adı verilen ve yeteri kadar elemanı olan bir küme belirlemeliyiz.

Evrensel kümeyi: E, A kümesinin tümleyenini de A' biçiminde göstereceğiz.

A' = { x | x ∉ A ve x ∈ E} biçiminde tanımlanır.

Venn şeması ile

evrensel küme

şeklinde gösterilir

Tümlemenin Özellikleri

  1. (A')' = A
  2. (A U B)' = A ' ∩ B'
  3. (A ∩ B)' = A' U B'
  4. A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A'
  5. ∅' = E, E' = ∅
  6. A U A' = E
  7. A ∩ A' = ∅
  8. s(A) + s(A') = s(E)

İki Küme Farkı

Aynı E evrensel kümesinde A, B kümeleri verilsin, A ya ait olup da B ye ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A ile B nin farkı denir ve A / B veya A - B şeklinde yazılır.

A - B = A / B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } biçiminde ifade edilir.

x ∉ B ⇒ x ∈ B' dir. O halde;

A - B = { x | x ∈ A ve x ∈ B' } = A ∩ B' olur

Venn şeması ile

iki küme farkı

şeklinde gösterilir.