Matematik

İşlem

K kümesi boş kümeden farklı bir küme olmak üzere,

K x K kümesini oluşturan ikililerin belli bir kuralla ifade edilmesine işlem denir.

Matematikte bildiğimiz toplama, çarpma, çıkarma ve bölme gibi işlemlerden farklı olarak belli bir kurala göre tanımlanabilen işlemler vardır. Bu işlemler  Ä, Å, ο, Δ, qv gibi özel sembollerle gösterilir.

Örnek:

Ä b = a + a.b - 2 ,

Å b = 2x + 3y + 2xy + 5 

gibi işlemler tanımlanır.

Örnek:

ο b = a + b - a.b

şeklinde tanımlanan "ο" işlemi için

  1. (2, 5) → x
  2. (1, -2) → y 
  3. (3, k) → -5

işlemlerindeki x, y ve k bilinmeyenlerini bulalım.

Çözüm:

ο b = a + b - a.b işleminde

  1. (2, 5) için "a" değeri 2, "b" değeri 5 olur. (2, 5) = 2 ο 5 = 2 + 5 - 2.5 = -3 olur.
  2. (1, -2) için "a" değeri 1, "b" değeri -2 olur. (1, -2) = 1 ο -2 = 1 + (-2) - 1.(-2) = olur.
  3. (3, k) için "a" değeri 3, "b" değeri k olur. (3, k) = 3 ο k = 3 + k - 3.k = 3 - 2k = -5  olduğuna göre k değeri bulunur.

İşlemin Özellikleri

1) Kapalılık Özelliği

A kümesi boş olmayan bir küme ve k Î A olmak üzere,

A da tanımlı bir Δ işlemi için

x, y Î A için x Δ y = k ise A kümesinin "Δ" işlemine göre kapalılık özelliği vardır denir.

Örnek:

A = {1, 3, 4, 6, 8, 9} kümesi üzerinde tanımlanan,

Δ b = a + b -5 işlemi veriliyor.

A kümesinin "Δ" işlemine göre kapalı olup - olmadığını inceleyelim.

Çözüm:

3, 4 Î A için 3 Δ 4 = 3 + 4 - 5 = 2 ve 2 Ï A olduğuna göre A kümesinde "Δ" işlemine göre, kapalı değildir.

2) Değişme Özelliği

∀x, y  Î A için x Δ y  = y Δ x oluyorsa "Δ" işleminin A kümesinde değişme özelliği vardır.

  • Verilen işlemdeki değişkenlerin katsayısı aynı ise bu işlemin değişme özelliği vardır. x Δ y = 3x + 3y + 5 ifadesinde x ve y nin katsayıları aynı olduğu için değişme özelliği vardır.
  • Reel sayılarda, toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özelliği varken çıkarma ve bölme işlemlerinin değişme özelliği yoktur

3) Birleşme Özelliği

∀x, y Î A için,

x Δ y Δ z = x Δ (y Δ z) = (x Δ y) Δ z oluyorsa "Δ" işleminin birleşme özelliği vardır.

Reel sayılarda çarpma ve toplama işleminin birleşme özelliği varken çıkarma ve bölme işlemlerinin birleşme özelliği yoktur.

Örnek: x Δ y = x + y -3 işleminde birleşme özelliği varken x Δ y = x - y işleminde birleşme özelliği yoktur.

4) Birim (Etkisiz) Eleman:

∀x, y Î A için,

Å e = e Å x = x olacak şekilde bir tek e Î A varsa "e" ye "Å" işleminin birim (etkisiz) elemanı denir.

Å e = x eşitliğindeki "e" sağdan, e Å x = x eşitliğindeki "e" soldan birim elemandır. Bir işlemde birim elemanın olabilmesi için sağdan birim eleman soldan birim elemana eşit olmalıdır. İşlemde değişme özelliği varsa sağdan yada soldan birim elemanlardan sadece birini bulmak yeterlidir. 

 Örnek:

Å y = x + y + 19

işleminde birim eleman kaçtır.

Çözüm:

x ve y nin katsayıları eşit olduğı için değişme özelliği vardır. Sağdan yada soldan birim elemanlardan sadece bir tanesini bulmak yeterlidir.

Å e = x + e + 19 = x ise 

e + 19 = 0 

e = -19 dur.

5) Bir Elemanın Tersi

 A kümesinde tanımlı "Ä" işleminin etkisiz elemanı "e" olsun.

Ä x-1 = x-1 Ä x = e 

eşitliğini sağlayan x-1 Î A varsa x-1 sayısına, x in "Ä" işlemine göre tersi denir.

Bir işlemde bir elemanın tersi olabilmesi için;

  • İşlemin etkisiz elemanı olmalıdır.
  • Elemanın soldan tersi ile sağdan tersi aynı olmalıdır.

Ters eleman özellikleri;

  • Bir elemanın tersinin tersi yine kendisine eşittir.
  • Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

Örnek:

Ä y = x + y + 4

işleminde 3 ün terisini bulalım.

Çözüm:

Ä e= x + e + 4 = x ise e = -4 tür.

Ä x-1 = x + x-1 + 4 

Ä x-1 = 2 + x-1 + 4 = -4 ise

6 + x-1 = -4

x-1 = -10 dur.

6) Yutan Eleman

∀x, y Î A için,

Å y = y Å x = y

eşitliğini sağlayan bir tek y Î A varsa, "Å" işleminin yutan elemanı y dir denir.

  • Bir işlemde yutan elemanın olabilmesi için sağdan yutan eleman ile soldan yutan eleman birbirine eşit olmalıdır. Değişme özelliği olan işlemlerde sadece birine bekmak yeterlidir.
  • Yutan elemanın tersi yoktur. Çünkü her işlemde etkisiz elemanı değil yine kendisini verir.

Örnek:

v b = 2a + 2b + ab + 2

işleminin yutan elemanını bulalım.

Çözüm:

v y = 2a + 2y + ay + 2 = y ise

y + a(2 + y) + 2 = 0

(y + 2)(a + 1) = 0

y = -2 yutan elemandır.

7) Dağılma Özelliği

"q" ve "Å" işlemleri A kümesinde tanımlı işlemler olsun.

∀x, y, z Î A için,

Å (y q z) = (x Å y) q (x Å z) şeklinde ise bu işlemde "Å" işleminin "q" işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır denir.

Dağılma özelliği olmabilmesi için hem soldan dağılma özelliği hemde sağdan dağılma özelliği olmalıdır.