Matematik

Temel Kavramlar

Rakam

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dur.

Sayılar

Sayılar, Matematik merdiveninin ilk basamağıdır. Ma­tematiği binaya benzetirsek, onun temelini sayılar oluşturur. Temel sağlam olmazsa yani sayılar iyi öğ­renilmezse, üzerine bina edilecek olan diğer konular iyi anlaşılmayacaktır. Bu nedenle sayılar iyi öğrenilmelidir.

Sayılar konusunu geniş olarak ele almayı ve bunu da çok değişik örneklerle pekiştir­meyi düşündük. Sayılar konusunu iki ana başlık altında inceleyeceğiz:

A - Sayı Kavramı

  1.  Doğal sayılar ve ardışık sayıların toplamı.
  2.  Sayı basamakları ve sayma sistemler. 
  3. Bölünebilme
  4. Asal sayılar ve obeb - okek

B - Sayıların Sınıflandırılması

  1. Tam sayılar
  2. Rasyonel sayılar
  3. Ondalık sayılar
  4. Üslü sayılar

Yukarıda verilen sıralamaya uygun olarak önce doğal sayıları ve ardışık doğal sayıların toplamını gö­receğiz.

1 - Doğal Sayılar ve Ardışık Toplamları

0,1,2,3,4 .... n ... sayılarının oluşturduğu kümeye, doğal sayılar kümesi denir ve "N" ile gösterilir.

N = {0,1,2,3,4...... n....} biçiminde yazılır.

Doğal sayılar kümesinin en küçük elamanı sıfırdır.

Sıfır hariç 1,2,3,4....... n..... sayılarından oluşan kümeye de sayma sayılar kümesi denir. Sayma sayı­lar N+ ile gösterilir.

N+ = {1,2,3,4......... n ...}, biçiminde yazılır.

ΠN olmak üzere çift doğal sayılar kümesi

Ç = {n Î N} = {0,2,4,6,.. ,2n, ...}’dir

ΠN olmak üzere tek doğal sayılar kümesi ise

T = {n Î N} = {1,3,5,7,........... ,2n+1,...} şeklinde

gösterilir.

Ardışık Sayılar

Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.

neN olmak üzere 2n, 2n+2, 2n+4,... sayıları ardışık çift sayılardır.

2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7,.... sayıları ise ardışık tek

sayılardır.

Belli bir kurala göre sıralanmış olan ardışık sayılar bir dizi oluştururlar. Bu diziyi oluşturan sayılara ise dizi­nin terimleri denir.

Diziyi oluşturan sayılar, ya artarak, ya azalarak ya da hem artıp hem azalarak sıralanırlar.

Genel olarak böyle bir dizide "n" terim sayısınıgöster- mek üzere dizininin iki terimi arasındaki farka artış miktarı denir.

1, 2, 3, 4,5, 6................ 50
ilk terim artış miktarı son terim
1 1 50
 
Terim sayısı: n =    (son terim - ilk terim) +1
Artış miktarı

 formülüyle bulunur.

Örnek: 21,22,23......... 57 dizisinin terim sayısını bulunuz.

Çözüm: 

      ilk terim = 21

      son terim = 57

      artış miktarı =1

terim sayısı = ( 57 - 21 ) / 1 + 1 = 37

Örnek: : 13,15,17,........... ,73 dizinin terim sayısını bu­lunuz.

Çözüm: 

       İlk terim = 13

Son terim = 73

Artış miktarı = 2

Terim sayısı = n = ( 73 - 13 ) / 2 + 1 = 31

Örnek: 3,6,9,12,.......... 96 dizisinin terim sayısını bulunuz.

Çözüm: 

      ilk terim = 3

     son terim = 96

     artış miktarı = 3

     terim sayısı = n = ( 96 - 3 ) / 3 +1 = 32

Doğal Sayılarda Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık doğal sayıların toplamını veren birden çok formül vardır. Biz bunlardan en kolay ve en kullanışlı­sını vereceğiz.

Vereceğimiz formülün nasıl bulunduğunu da göster­mek suretiyle, iyice öğrenmiş olacaksınınız. Verile­cek olan formül, her tip ardışık sayının toplanmasın­da kullanılabilir.

Ardışık sayıların toplamını T ile gösterelim;

 

T =    (son terim + ilk terim)  x Terim sayısı
2
T =    (son terim + ilk terim)  x  (son terim - ilk terim)  + 1
2 2
T =    (son terim + ilk terim) . ( son terim - ilk terim + artış miktarı )  
2 x artış miktarı

Örnek: 1 + 3 + 5 + ....... + 63 toplamı kaçtır?

Çözüm:

     ilk terim = 1

     son terim = 63

     artış miktarı = 2

     T = ( 63 + 1 ) . ( 63 - 1 + 2 ) / 2 . 2 = 64 . 64 / 4 = 1024

Örnek: 3 + 6 + 9 + ....... +96 toplamı kaçtır?

Çözüm:

     ilk terim = 3

     son terim = 96

     artış miktarı = 3

     T = ( 96 + 3 ) . ( 96 - 3 + 3 ) / 2 . 3 = 99 . 96 / 6 = 1584

İşlem kolaylığı sağlamak için pay ve paydayı sadeleştiriniz.

Örnek: 1'' den 85'' e kadar 4'' ün katı olan doğal sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

     1 ve 85 4'' ün katları değldir.

     ilk terim = 4

     son terim = 84

     artış miktarı = 4

     T = ( 84 + 4 ) . ( 84 - 4 + 4 ) / 2 . 4 = 88 . 84 / 8 = 924

Örnek: 1 + 1.2 + 1.4 + ....... +3.2  toplamı kaçtır?

Çözüm:

     ilk terim = 1

     son terim = 3.2

     artış miktarı = 0.2

     T = ( 3.2 + 1 ) . ( 3.2 - 1 + 0.2 ) / 2 . 0.2 = 4.2 . 2.4 / 0.4 = 25.2