Matematik

Sayı Basamakları ve Sayı Sistemleri

Basamak ve Taban

Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımladığı sayı sistemine de sayı tabanı (düzeni) denir.

Çözümleme

n sayı tabanı ve a, b, c, d, e rakamları n den küçük olmak üzere,

A = (abcde)sayısının basamakları 

e : n0 lar basamağı,

d : n1 ler basamağı,

c : n2 ler basamağı,

b : n3 ler basamağı,

a : n4 ler basamağıdır.

A = (abcde)n = a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n1 + e.n0

şeklinde yazılmasına A sayısının n tabanına göre çözümlenmesi denir.

Uyarı: 10 luk sistemdeki sayılar için taban yazmaya gerek yoktur.

Örnek:

(1989)10 sayısını çözümleyelim.

Çözüm:

(1989)10 = 1.104 + 9.103 + 8.102 + 9.100

Örnek:

(2014)4 sayısını çözümleyelim.

Çözüm:

(2014)4 2.43 + 0.43 + 1.41 + 3.40

Örnek:

İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirilince bu sayı 45 küçülüyor. Bu sayının rakamları arasındaki farkı bulalım

Çözüm:

İki basamaklı bir sayı ab olsun.

ab - ba = 45

(10a + b) - (10b + a) = 45

9a - 9b = 45

9(a - b) = 45

a - b = 5 olur.

Örnek:

İki basamaklı ab sayısı ile ba sayısının toplamı 132 dir.

Buna göre, ab sayısının en çok kaç olabileceğini bulalım.

Çözüm:

ab + ba = 132

              = (10a + b) + (10b + a)

              = 11a + 11b

              = 11(a + b)

              = (a + b) = 12 dir.

ab sayının en büyük değeri istendiğine göre , a en büyük rakam olmalıdır.

a = 9 ve b = 3 seçilirse ab sayısı 93 olur. 

Örnek:

Herbiri en az üç basamaklı 10 tane sayı vardır. Bu sayılardan herbirinin yüzler basamağındaki rakam 3 azaltılıyor, onlar ve birler basamağındaki rakamlar 4 artırılıyor.

Bu sayıların toplamının ne kadar azalacağını bulalım.

Çözüm: 

I. Yol:

Bu sayılardan biri abc olsun

abc = 100a + 10b + c sayısında istenen değişiklikler yapılırsa,

100(a - 3) + 10(b + 4) + (c + 4)

=100a -300 + 10b + 40 + c + 4

= 100a + 10b + c - 256

=abc - 256

Buna göre herbir sayo 256 azaldığından dolayı 10 tane sayı toplam, 256.10 = 2560 azalır.

II. Yol:

3 basamaklı bir sayı alıp istenen değişiklikleri yapalım. Böyle bir sayı 555 olsun. Bu sayının yüzler basamağındaki rakam 3 azaltılır, onlar ve birler basamağındaki rakam 4 artırılırsa, 299 sayısı elde edilir.

Fark : 555 - 299 = 256 dır.

Her bir sayı 256 azaldığına göre, 10 tane sayı toplam: 10.256 = 2560 azalır. 

Örnek:

Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2765 tir. Buna göre, en küçük sayının en az kaç olabileceğini bulalım.

Çözüm:

Bu üç sayıdan birinin en küçük olması için diğer ikisinin en büyük olması gerekir. En küçük sayı abc iken diğer ikisi en büyük 999 ile 998 dir.

abc + 999 + 998 = 2765

abc = 2765 - 1997

abc = 768 olur.

Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması

 Herhangi bir tabandaki sayı, 10 tabanına göre çözümlenirse 10 luk tabana dönüştürlmüş olur.

Örnek:

8 tabanındaki 215 sayısının 10 tabanındaki eşitini bulalım.

Çözüm: 

 (215)8 = 2.82 + 1.81 + 5.80

             = 2.64 + 8 + 5

             = 128 + 13

            = (141)10 dur.

Örnek: 

 x sayı tabanı olmak üzere,

(64)x = 52

eşitliğini sağlayan x sayısını bulalım. 

 Çözüm:

 (64)= 6x1 + 4x0

           = 6x + 4 = 52

                     6x = 48

                       x = 8 olur.

Uyarı: (abc)sayısında n tabanı 1 den ve a, b, c rakamlarının herbirinden büyük olmalıdır. Yani; sayının tabanı, sayıyı oluşturan rakamlardan büyüktür.

Örnek:

 8 sayı tabanı olmak üzere, (13x2)8 sayısında x in en çok kaç olabileceğini bulalım.

Çözüm:

(13x2)8 sayısında; taban 8 olduğuna göre, x en çok 7 olabilir. 

10 Tabanındaki Bir Sayının Başka Bir Tabana Göre Yazılması

 10 tabanında verilen bir sayı, başka bir tabana çevrilirken, verilen sayı ardışık olarak istenen tabana bölünür. Bu bölme işlemine bölüm 0 olana kadar devam edilir. En son elde edilen kalan, istenen sayının solundaki rakam olacak şekilde, kalanlar sırasıyla sayının rakamlarını oluşturur. Bu işlem çözümleme işleminin tersidir.

Örnek: 

98 sayısının 5 tabanındaki eşitini bulalım.

Çözüm:

53> 98 >5olduğuna göre,

98 = 3.52 + 4.51 + 3 = (343)5 dir.

 Örnek: 

167 sayısının 4 tabanındaki eşitini bulalım.

Çözüm:

44> 167 >4olduğuna göre,

167 = 2.43 + 2.42 + 1.41 + 3.40 = (2213)4 dür.

Herhangi Bir Tabanda Verilen Bir Sayının Başka Bir Tabana Dönüştürülmesi

 Herhan bir tabanda verilen bir sayı, önce çözümlenerek 10 tabanına daha sonra 10 tabanından istenen tabana dönüştürülür.

Örnek:

(245)sayısının 3 tabanındaki eşitini bulalım.

Çözüm:

 (243)5 = 2.52 + 4.51 + 3.50

             = 50 + 20  + 3

             = (73)10

34 > 73 > 33 olduğuna göre

 73 = 2.33 + 2.32 + 0.31 + 1.3= (2201)3

Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler

Aynı tabanda verilmiş iki sayının toplamı, farkı ve çarpımı 10 tabanında yapılan işlemlere benzer işlemlerle bulunur.Yalnız toplama ve çarpma işlemi yapılırken işlem süresince ortaya çıkan sayılarda tabanın katları elde olarak bir sonraki işleme eklenir, tabanın katından fazla olan kısım çizginin altına yazılır.

Örnek:

 (213)5 ile (334)5 sayılarının toplamının 5 tabanında bulalım.

Çözüm:

    (213)5

+  (334)5

  (1102)5

Uyarı: Çıkarma işlemi yapılırken gerektiğinde bir sonraki basamaktan 1 alınırsa bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın değeri kadardır. Yani 5 tabanında yapılan çıkarma işleminde soldaki basamaktan 1 alınırsa, bu 1 in, alındığı basamağa katkısı 5 olur.