Matematik

Ebob Ekok

Ortak bölen veya ortak kat kavramları bir birinden farklı en az iki doğal sayı için söz konusudur.

1. Ebob (En Büyük Ortak Bölen)

Birbirinden farklı en az iki doğal sayıyı birlikte bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve ebob ile gösterilir.

2. Ekok (En Küçük Ortak Kat)

Birbirinden farklı en az iki doğal sayıya birlikte bölünebilen en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir ve ekok ile gösterilir.

Örnek:

48 ve 64 sayılarının ebob unu ve ekok unu bulalım.

Çözüm:

I. Yol:

48 = 3.16 = 3.24

64 = 4.16 = 26

Ebob, ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımıdır.

Ekok, ortak asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan çarpanların çarpımıdır.

O halde;

Ebob (48, 64) = 24 = 16 

Ekok (48, 64) = 3.26 = 192 dir.

II. Yol:

48

24

12

6

3

3

3

1

64

32

16

8

4

2

1

 

2

2

2

2

2

3

 

*

*

*

*

 

 

 

 

 

Ebob (48, 64) = 16 ve Ekok (48, 64) = 192 dir.

İki sayının ortak bölenlerinin yanına * işareti konmuştur.

Ebob, yanında * işareti bulunan sayıların çarpımı, Ekok ise bütün bölenlerin çarpımıdır.

x ile y doğal sayı ve x < y ise

a)Ebob (x, y) ≤ x < y  Ekok(x, y) dir.

Ebob (48, 64)  48 < 64  Ekok (48, 64)

16 ≤ 48 < 64 ≤  192

b)x.y = Ebob(x, y).Ekok(x, y) dir.

48.64 = Ebob( 48, 64).Ekok (48, 64) = 16.192 = 3072

A ile B aralarında asal iki doğal sayı ise,  Ebob (A, B) = 1     Ekok (A, B) = A.B dir. 

 Örnek:

540 ve 720 sayılarını bölen en büyük sayı A ve bu iki sayıya bölünebilen en küçük sayı B olduğuna göre, A + B toplamını bulalım.

Çözüm:

540

54

3

1

720

72

4

1

10

18

4

3

*

*

 

 

 

 A = Ebob (540, 720) = 180     B = Ekok (540, 720) = 2160 dır.

O halde, A + B = 2160 + 180 = 2340 tır.

Örnek:

Kenar uzunlukları 48 ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki tarlanın etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.

Buna göre en az kaç ağaç gerektiğini bulalım.

Çözüm:

Ağaç sayısı en az olacağına göre, ağaçlar arasındaki uzunluk en büyük olmalıdır. Komşu iki ağaç arasındaki uzunluk en büyük olacaksa bu uzunluk Ebob (48, 60) dır. 

48

4

1

 

60

5

5

1

12

4

5

 

*

 

 

 

 

Ebob (48, 60) =12 olur.

Buna göre gerekli ağaç sayısı = Bahçenin çevresi / iki ağaç arasındaki uzaklık = 2.(48 + 60) / 12 =216 / 12 = 18 olur.

Örnek:

6 ile bölümünden kalan 3, 8 ile bölümünden kalan 5, 10 ile bölümünden kalan 7 olan en küçük doğal sayıyı bulalım.

Çözüm:

İstenilen sayı A olsun. Bu durumda A + 3 sayısı hem 6, hem 8, hem de 10 ile tam bölünür. 6, 8, 10 ile bölünen en küçük doğal sayı Ekok(6, 8, 10) dur.

Buna göre, 

6

3

3

3

1

 

8

4

2

1

 

 

10

5

5

5

5

1

2

2

2

3

5

 

*

 

 

 

 

 

A + 3 = Ekok (6, 8, 10) = 23.3.5 = 120 dir.

A  = 117 dir.