Menelaus Teoremi

17.05.2018 - 06:36

Üçgende kesen teoremleri içerisinde menelaus teoremi önemli bir teoremdir. İyi öğrenildiğinde kolaylıkla bu teoremi uygulayabilirsiniz.

Menelaus teoremi, bir üçgenin kenarlarını kesen bir çizgi ile elde edilen oranları ilişkilendirir. Teoremin tersi de doğrudur ve üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlamakta son derece güçlüdür. Bu teorem aslında Ceva teoremi ile de ilişkidir. Her iki teorem benzer yapılara sahiptir ve çeşitli geometri problem tiplerinde yaygın olarak uygulanabilir.

Menelaus teoremi

Yukarıdaki şekilde menelaus teoremi gösterilmiştir. İlk başta size karışık gelse dahi birkaç örnek soruda menelaus yöntemi uygulandığı taktirde daha basit gelmeye başlayacaktır.

Formülde üç oranın çarpımının 1'e eşit olması bütün oranların birbirini götürmesi manasına gelmektedir. Öyleyse bu eşitliği ters çevirsek de eşitlik bozulmayacaktır. Yani (|BD| / |AD|).(|AF| / |FC|).(|EC| / |CB|) = 1 olacaktır.

İlgilenenler için bir başka teorem: Stewart teoremi

Menelaus Teoreminin İspatı

Menelaus teoreminin aslında basit bir ispatı vardır. Bu ispat bildiğimiz benzerlik kurallarının uygulanmasıdır. İspatın uygulanması için öncelikle A, B ve C noktalarından doğruya birer dikme indirmek gerekir. Bu durumda birçok benzer üçgen elde edilecektir.

Menelaus teoreminin ispatı

Şekilde A, B, C köşelerinden doğruya indirilen dikmelerin doğruya değdiği noktalara sırasıyla A', B', ve C' dedik. Bu durumda üç adet benzer üçgen elde edebiliriz.

  • AA'D ~ BB'D
  • AA'F ~ CC'F
  • BB'E ~ CC'E

Bu benzer üçgenlerin kenarlarının oranı eşit olur.

  • |AD| / |DB| = |AA'| / |BB'|
  • |CF| / |FA| = |CC'| / |AA'|
  • |BE| / |EC| = |BB'| / |CC'|

Olacaktır. Bu eşitlikleri benzerliğin en temel kurallarından biliyoruz zaten. Şimdi soldaki oranları ve sağdaki oranları kendi aralarında çarpalım. Bu durumda sağdakilerin çapraz bir şekilde birbirini götürdüğünü ve sonucun 1 ettiğini görürüz. Öyleyse soldaki oranlar da 1'i verecektir. Böylece Menelaus teoreminin formülü de ortaya çıkmış olur.

Menelaus Kimdir?

Menelaus Milattan sonra 70 ve 140 yılları arasında yaşamış önemli bir Yunan matematikçisi ve astronomudur. İskenderiye'de doğduğu için İskenderiyeli Menelaus olarak da bilinir. 70 yaşlarındayken İtalya'nın Roma şehrinde ölmüştür.

Geometriye önemli katkılar yapar Menelus hakkında az bilgi olsa da gençliğini Mısırda geçirdiği ve daha sonra Roma'ya taşındığı düşünülmektedir. İlk kaynaklar ondan İskenderiyeli Menelaus olarak bahsetmektedir.

Onun adıyla anılan Menelaus teoremi, seva teoremi ile birlikte üçgende benzerlik ve doğrusallık konularında kullanılan önemli bir yöntemdir.

Troy filminde (Truva) gördüğümüz Menelaus karakteri ise başka bir kişiyi anlatmaktadır. Filmde olduğu gibi gerçekte de Menelaos Mykene kralı Agememnon'un kardeşi ve Helen'in kocasıdır. İyi bir savaşçı ve bir Yunan kahramanıdır. İkisini karıştırmamak gerekir.


Etiketler:
  • geometri    
  • Yorumlar
    Yorum Yap