Koninin Hacmi ve Yüzey Alanı

27 Ekim 2017 13:23

Üç boyutlu geometrik cisimlerden biri konidir. Piramitler genel olarak tepe noktasına sahip üç boyutlu cisimler olarak sınıflandırılır.

Dairenin piramit haline koni denir. Bir daireyi düşünün. Üstüne daha küçük bir daire eklediğinizi düşünün. Her seferinde daire alanını düzenli bir şekilde küçülterek üst üste eklediğinizde en üst daire noktasal olur. Ortaya çıkan geometrik şekil de konidir.

Koninin tabanı daire, tepesi ise noktadır.

Günlük hayatta koniye çeşitli yerlerde rastlarız. Örneğin yılbaşlarında takılan sivri şapka bir konidir. Ya da içine patlamış mısır, ay çekirdeği konan sivri kâğıt kap yine bir koni örneğidir.

koni

Yukarıdaki resimde bir koni örneği gösterilmiştir.

Koninin Hacmi

Koninin hacmi genel olarak piramidin hacmi nasıl bulunursa öyle bulunur. Yani tam bir şekil gibi hacim hesaplanır ve 3’e bölünür.

Eğer konide daralma olmasaydı bir silindir elde edilecekti. Öyleyse koni aynı yükseklikte ve aynı taban alanına sahip bir silindirin 3’te biri kadar bir hacme sahiptir.

Konin hacmi V = 1/3.π × r2 × h formülüyle bulunur.

koni ve silindir hacim ilişkisi

Yukarıdaki görselde koni ve silindirin hacimleri arasındaki ilişki gösterilmiştir. Koninin hacminin silindirin hacminin 3’te 1’i kadar olduğuna dikkat ediniz. Piramitlerde genel olarak bu ilişki vardır.

Koniyle ilgili hacim sorularında silindir gibi düşünüp üçe bölmek en kolay yöntemdir. Silindirin hacmi ve yüzey alanı ile ilgili yazıda silindir ile ilgili bilmemiz gerekenleri anlatmıştık.

Koninin Yüzey Alanı

Koninin hacmi kolay bulanabiliyor ancak öğrenciler koninin yüzey alanı nasıl bulunur pek bilmiyor. Konide zorlanma genellikle yüzey alanıyla ilgili oluyor.

Konide yüzey alanı bulmak için konideki temel uzunlukları bilmemiz gerekir. Bu uzunluklardan biri yarıçap, diğeri yükseklik, bir diğeri ise yanal uzunluktur.

koninin yüzey alanı

Yukarıdaki resimde koninin temel uzunlukları ve yüzey alanı gösterilmiştir. Şimdi bunun üzerinden formülü açıklamaya çalışalım.

Koninin açılımdan yarıçapı s olan bir yay dilimi ve yarıçapı r ola bir tam daire elde edilecektir. Koninin yüzey alanı bu ikisinin toplamıdır.

Taban alanın nasıl bulunduğunu hepimiz biliyoruz. Bildiğimiz dairenin alanı formülü ile bulunur. Yanal alan ise π.r.s formülüyle bulunur.

Öyleyse iki alanı topladığımızda yüzey alanı = π.r.(r + s) elde edilecektir.

Yüzey alanı formülünde yükseklik olan h'ın formüle girmediğine dikkat etmelisiniz. Ancak s uzunluğu verilmemişse yükseklikten Pisagor bağıntısıyla (s2 = r2 + h2) bunu elde edebiliriz.

Koninin Kesit Alanı

Koninin kesit alanı için de aynı şekilde pratik bilgimizi kullanmamız gerekir. Koninin üst üste daralarak eklenen dairelerden oluştuğunu biliiyoruz. Öyleyse koni şapkasını da herhangi bir noktadan kesersek ortaya yine bir daire çıkacaktır.

Bunun için ekstra bir formül ortaya çıkarmaya gerek yoktur. Pisagor bağıntısı ve benzeri geometri bilgilerini kullanarak kesin alanı oluşturan dairenin yarıçapını bulmaya çalışmalıyız. Bunu bulduktan sonra da normal daire alanı formülüyle sonuca ulaşabiliriz.

Şimdi de birkaç örnek soru çözerek konuyu pekiştirmeye çalışalım.

Örnek Sorular

Aşağıdaki soruları yukarıda anlatılanlar çerçevesinde çözmeye çalışın.

Soru: Yarıçap uzunluğu 2, yüksekliği 8 cm olan bir koninin hacmi kaç cm3 olur? (π = 3)

A) 24

B) 32

C) 48

D) 60

E) 64

Çözüm: Formülü uyguladığımız zaman 1/3.3.22.8 = 32 cm3 bulunur. Cevap B seçeneğidir.

Soru: Yarıçapı 7, yüksekliği 24 cm olan bir koninin yüzey alanı kaç cm2 olur? (π = 3)

A) 168

B) 322

C) 400

D) 568

E) 672

Çözüm: Formülü uygulamak için yanal uzunluğa ihtiyacımız vardır. Pisagor bağıntısı uygularsak (7, 24, 25 üçgeni) yanal uzunluk s = 25 cm bulunur. Şimdi formülü yerine koyalım.

π.r.(r + s) için 3.7.(7 + 25) = 672 cm2 bulunur. Doğru yanıt E seçeneğidir.


Etiketler:
  • geometri    
  • Yorumlar
    Yorum Yap