Kelebek Benzerliği Kuralı

17 Eylül 2017 08:42

Geometride benzerlik kuralları vardır. Bu kuralların en yaygın kullanım alanlarından biri kelebek benzerliği kuralıdır. Kelebek kuralı aslında diğer benzerlik kurallarının uygulama alanlarından biridir. Yoksa benzerliğin temel ilkeleri bellidir. Üçgende benzerlik konusuna çalışıp kelebek kuralı dahil bütün benzerlik teoremlerini öğrenebilirsiniz.

İki üçgenin benzer olması demek açılarının aynı olması demektir. Açıları aynı olan üçgenlerin kenarları orantılıdır.

Benzerlik için gereken şartları değerlendirirken iki açının eşit olması veya iki kenarının orantılı olması beklenir. Aslında iki açısı eşit olan üçgende üçüncü açı da eşit olur. İki kenar orantılıysa üçüncü kenar da orantılı olacaktır.

Kelebek benzerliği paralelkenar başta olmak üzere birçok geometri konusunda karşımıza çıkmaktadır.

Kelebek Benzerliği ve Formülü

Kelebek benzerliği ters bir şekilde uç uca eklenmiş iki üçgende ortaya çıkar. Bu şekil kelebeğe benzediği için buna kelebek benzerliği denmiştir. Bazen z kuralı ya da kum saati benzerliği olarak da bilinebilir.

Benzerliğin temel kuralı aynı açı arasındaki kenarların orantılı olmasıdır.

kelebek kuralı

Yukarıdaki şekilde kelebek benzerliği kuralı gösterilmiştir. Bu şartın ortaya çıkması için ise [AB] // [CD] şartı sağlanmalıdır. Paralellik oluştuğu taktirde ters açılar eşit olacaktır. Çapraz açı zaten eşit olacağı için üç açının eşitliği söz konusudur. Üç açı eşitse kenarlar orantılıdır.

Şekilde z açıları çapraz açı oldukları için eşittir. Yine x ve y açıları da AB ve CD doğru parçalarının paralelliğinden dolayı iç ters açılardan eşittirler. Doğruda açılar konusunda bu açıların nasıl eşit olduğunu anlatmıştık. Dolayısıyla üç açısı eşit olan iki üçgen ortaya çıkmıştır. Açıları eşit olan iki üçgenden biri, diğerinin fotokopi mantığıyla büyütülmüş ya da küçültülmüş halidir.

Kelebek Teorimi ile İlgili Sorular

Kelebek benzerliği yukarıda bahsettiğimiz şartlara dayanmaktadır. Kelebek şekli düzey ya da yatay çizilmiş olabilir. Temel amacımız benzerliği yakalayıp aynı açının karşısındaki kenarları birbirine oranlamaktır.

Bununla ilgili bir örnek çözelim.

kelebek teoremi soru

Soru: Yukarıdaki şekilde [AB] // [CD] // [EF] paralellikleri vardır. Buna göre |CD| = x kaç birimdir?

Çözüm: Paralellik olduğu için kelebek teorimi geçerlidir. Buna göre eşit açıları gösterip benzer üçgeni ortaya çıkarırsak şöyle bir şekil elde ederiz:

kelebek kuralı soru çözümü

Kelebeği oluşturan iki üçgende benzerlik oranı 1/2 şeklindedir. Çünkü aynı açının karşısına bir üçgende k, diğerinde 2k birim gelmektedir. Öyleyse yine aynı açı karşısında birinde x, diğerinde 12 geliyorsa x/12 = 1/2 eşitliği kurulur. Buradan da x = 6 elde edilir.

Kelebek kuralıyla ilgili bütün soruları eşit açıların karşısındaki kenarları oranlayarak çözebilirsiniz. Başka şekiller içine gizlenmiş kelebeği bulmak çok önemlidir. Bunun için temel şart ise paralelliktir.


Etiketler:
  • geometri    
  • Yorumlar
    Yorum Yap