Küp Açılımı

13.01.2019 - 19:02

Matematik dersinde çarpanlara ayırma beceresi en önemli becerilerden biridir. Küp açılımı ise çarpanlara ayırmada çok önemlidir. Küp açılımında iki ifadenin küpünün toplamı ile iki ifadenin toplamının küpü çok sık karıştırılmaktadır. Bu yazıda hepsine açıklık getireceğiz.

Konulara tek tek değinmeden önce konuda kullanacağımız bütün özdeşlikleri verelim:

  • a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
  • a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Şimdi de bu özdeşliklerin üzerinde kısaca duralım.

Küp açılımı

İki Küp Toplamı (a küp artı b küp açılımı)

İki ifadenin küplerinin toplanması ya da küplerinin farklarının alınması bu özdeşlikle yapılmaktadır. İki küp farkı yazısında buna değinmiştik zaten.

Formülde baktığımız zaman küpü alınmış iki ifadenin ya toplamının ya da farkının ifade edildiğini görüyoruz. Eğer işlem toplamaysa birinci işaret + ancak ikinci parantezin ortası - olmaktadır. Eğer işlem çıkarmaysa bu sefer ilk parantezin içi - ve ikinci parantezin ortası + olmaktadır. Bu iki formülü bu şekilde kafanıza oturtabilirsiniz.

Küp açılımı soruları içerisinde bu tür sorular çok yaygın çıkmaktadır. Özellikle sadeleştirme sorularında a küp artı b küp şeklinde bir ifadeyle karşılaşırsanız hemen bu formülleri yazmalısınız.

Formülde dikkat etmeniz gereken durum işaretleri karıştırmaktır. Unutmayın eğer aradaki işaret + ise önce + sonra - ve eğer aradaki işaret - ise önce - sonra + olmaktadır. İkinci parantezdeki kısımda (a + b)2 şeklinde ifadelere benzemektedir ancak aradaki fark +2ab yerine doğrudan +ab olmasıdır.

  1. a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
  2. a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)

Bu iki formül matematikte birçok konuda hayatımızı kurtaracaktır.

Toplamın Küpü (Parantez Küp)

Küp açılımı sorularında karşımıza çıkan bir diğer açılım da iki ifadenin toplamının küpü ya da farkının küpüdür. Buna kısaca parantez küp de diyebiliriz. Bu açılım binom açılımın da konusudur. Çünkü Pascal üçgeninde bu açılımı katsayıları vardır. Katsayılar sırasıyla 1, 3, 3, 1 şeklindedir.

Bu katsayıları yerleştirdikten sonra a3 ile başlayıp a'nın derecesini birer basamak düşerek ve b'nin derecesini de birer arttıracaksınız.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Böylece yukarıdaki formülü elde edeceksiniz. Aradaki işaret - olursa da sırayla bir + ve bir - olacak şekilde işaretleri koyarız. Yani şu şekilde ifade edilir:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Katsayıları hatırlamazsanız kombinasyon kullanabilirsiniz. Buna göre küp için ilk katsayı 3'ün 0'lı kombinasyonu, 3'ün 1'li kombinasyonu, 3'ün 2'si ve 3'ün 3'ü şeklinde gidebilirsiniz. Böylece katsayılar 1, 3, 3,1 olarak gelecektir.

Bu mantıkla 4. kuvvet açılımı da rahatlıkla bulunabilir. Pascal üçgeni ya da kombinasyon ile katsayıları 1, 4, 6, 4, 1 şeklinde buluruz. Ardından a4 ile başlayıp a'yı küçültürüz. Aksine de b'yi büyütürüz.

Öyleyse 4. kuvvet açılımı a4 + 4a3b + 6a2b + 4ab3 + b4 şeklinde olur. Aradaki işaret - olursa da bir + bir - şeklinde devam ederiz. Dilerseniz küp açılımı ve 4. kuvvet açılımı için ispat da yapabilirsiniz. Ancak asıl amacımız soruları düzgün bir şekilde çözebilmektedir.


Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap