Faktöriyel Nedir?

10.07.2018 - 15:11

Matematikteki temel kavaramlardan biri de faktöriyel kavramıdır. Faktöriyel ile ilgili sorular her seviye matematik sınavında karşımıza çıkabilmektedir. Bilmeyenler için çok zor gelen bu matematik konusu aslında çok kolay ve zevkli bir konudur. Öğrendiğiniz zaman matematiksel düşünme kabiliyetinizin geliştiğini de hissedeceksiniz. Peki, faktöriyel nedir?

Faktöriyel matematikte herhangi bir sayma sayının 1'den başlayarak o sayıya kadar birbiriyle çarpılmasıyla elde edilen fonksiyondur. Nasıl ki matematikte çeşitli işlemler çeşitli fonksiyonları doğurur. Aynı şekilde bu çarpma işlemi de faktöriyeli meydana getirir. Faktöriyel ifadesi sayının sağına ünlem işareti konarak gösterilir. Örneğin 5! ifadesi 5 faktöriyel olarak okunur.

faktöriyel nedir

Faktöriyelin İfadesi ve Basit Formülü

Genel olarak n! şeklindeki gösterim 1'den n'e kadar olan pozitif tam sayıların birbiriyle çarpılması manasına gelir. Bunu şöyle ifade edebiliriz:

n! = 1.2.3 ... (n - 1).n

Gördüğünüz gibi 1'den n'ye kadar olan bütün sayıları çarpıyoruz. Gösterimde (n - 1) ifadesinin ortaya konması birçok soru tipinde çok işimize yarayacaktır. Matematikte 0'dan 5'e kadar olan sayıların faktöriyel değerlerini bilmek bize kolaylık sağlayacaktır.

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • 2! = 1.2 = 2
  • 3! = 1.2.3 = 6
  • 4! = 1.2.3.4 = 24
  • 5! = 1.2.3.4.5 = 120

Şeklindedir. 5!'den sonrasın birler basamağı her zaman 0 olacaktır. Çünkü 5! = 120 olduğundan sonu 0 ile biten bir sayıyı hangi tam sayıyla çarparsanız sayının sonu yine 0 olur.

0!'nin sonucunun 1 olduğuna dikkat edin. Bunun nedenini ise araştırın.

Faktöriyel Soruları ve Kısa Çözüm Yolu

Faktöriyel örnekleri üzerinden biraz daha konuyu anlamaya çalışalım. Sorularda 100! gibi kavramlarla karşılaşabiliriz. Merak etmeyin kimse sizden 1'den 100'e kadar çarpmamınızı istemez. Burada mutlaka başka bir çözüm yolu olmalıdır.

Faktöriyel soruları için en kısa çözüm yolu sadeleştirmedir.

Örnek: 101! / 100.99! işleminin sonucunu bulalım.

Öncelikle 101! demek 101.100! demektir. Çünkü 100! 1'den 100'e kadar olan sayıların zaten çarpımıdır. Bunu bir de 101 ile çarparsanız 101! elde edilir. 100.99! ise doğrudan 100! demektir. Öyleyse işlem 101.100! / 100! şeklindedir. Buradan da 100! ifadeleri sadeleşirse cevap 101 bulunur.

Faktöriyel kavramı ile alakalı soru tarzları genellikle bu şekilde olur. Bir de n ile ifade edilen sayılarda faktöriyellerle ilgili çeşitli sorular karşımıza çıkar. Örneğin n! / (n - 1)! = 28 ise n'i bulalım.

Sadeleştirmek için yine ikisini aynı cinsten yazalım. Sorularda bunu sağlamak için büyük olanı küçük olan cinsinden yazarız. Öyleyse n! yerine n.(n - 1)! yazabiliriz. Bu durumda n.(n - 1)! / (n - 1)! = 28 buradan da n = 28 bulunur.

Faktöriyel sorularında toplama işlemi yaparken de yine en küçük sayıya göre işlem yapılır.

Soru: 8! + 7! + 6! işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm: Burada en küçük olan 6!'dir. Öyleyse hepsini 6! cinsinden yazalım. 8! = 8.7.6! ⇒ 56.6! olur. 7! ise 7.6! olur. Bu durumda işlem 8.7.6! + 7.6! + 6! şekline dönüşür.

Şimdi bütün ifadeyi 6! parantezine alırsak 6!(56 + 7 + 1) = 64.6! bulunur.


Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap