Kökler Toplamı ve Çarpımı Bilinen İkinci Derece Denklemin Kuruluşu

11 Mayıs 2017 05:16

İkinci dereceden denklemler ortaöğretim düzeyinde en çok karşılaştığımız denklem tipidir. Kökler toplamı ve çarpımı bilinen ikinci derece denklemin kuruluşunu bugün öğreneceğiz. Bazen denklemin kökleri bilinmez fakat köklerin toplam ve çarpımı bilinir. Bu durumda bazı yöntemler kullanarak denklemi yazmaya çalışacağız.

Verilmiş bir ikinci dereceden denklemin kökler toplamı ve çarpımını bulmak için bu yazıyı okuyunuz. Kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini su gibi bilmeniz gerekir. Aksi taktirde bu konuya hakim olamazsınız ve matematiğin her alanında sorun yaşarsınız.

kökler toplam ve çarpımı ile denklem kurulması

İkinci Dereceden Denklem Formatı

İkinci dereceden bir denklem ax2 + bx + c şeklindedir. İkinci dereceden bir denklem kuracaksanız öncelikle bunu yazmanız gerekir. Bir denklemin ikinci dereceden olması demek en büyük dereceli teriminin x2 olması demektir. Bu nedenle ikinci dereceden bir denklemde x2 ifadesi zorunludur. Baş katsayı olan a’yı bulduğumuz zaman denklemi yazmak oldukça kolaylaşacaktır. Bazı denklemlerde a değeri doğrudan verilir.

Kökleri Bilinen Bir Denklemi Yazma

İkinci dereceden bir denklem çözümlüyse reel iki kökü vardır. Bu kökleri bilirsek denklemi bulabiliriz. Aynı şekilde denklemi bilirsek bu kökleri bulabiliriz.

Örnek: Reel katsayıları 2 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

Çözüm: Yapmamız gereken şey kökleri yerine yazıp denklemi çarpım yoluyla açmaktır. Bir denklemin kökü o denklemi sıfır yapan değerlerdir. 2 ve 3 değerleri bir denklemi 0 yapıyorsa o denklem şu şekilde yazılır: (x – 2).(x – 3) = 0

Çarpma işlemini yapıp denklemi açarsak x2 – 5x + 6 = 0 denklemini elde ederiz.

Kökler Toplam ve Çarpımı Biliniyorsa

Bir denklemle ilgili bize bazen kökler toplamı ve çarpımı bilgisi verilir. Yani ax2 + bx + c şeklinde olan soruda a, b ve c değerleri bilinmez. Sadece –b/a (kökler toplamı) ve c/a (kökler çarpımı) verilir. Bu durumda denklemi elde etmek için bize yardımcı bir bilgi gerekir. Denklemi kurabilmek için a, b ve c değerlerini bilmemiz gerekir. Sadece kökler toplamı ve kökler çarpımı bilgisiyle yukarıdaki oranlar elimize geçer. Bu oranlardan a, b, c değerlerini elde edemeyiz.

Bazen soruda baş katsayısı 1 olan ya da baş katsayısı falan olan diye bir ifade görürüz. Burada geçen baş katsayı a’dır. Diğer oranları bildiğimize göre denklemi rahatlıkla elde edebiliriz. Bazen de başka bir bilgi yardımıyla denklemi yazarız.

Öncelikle denklemin iki kökünü x1 ve x2 olarak adlandıralım. Bu durumda x1 + x2 = -b/a, x1.x2 = c/a eşitlikleri elde edilir.

Şimdi bu çerçevede bir örnek yapalım:

Örnek: Reel kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir denklemin kökler toplamı -1/2, kökler çarpımı ise -3’dür. Bu denklemin köklerinin karelerinin toplamı ise 25/4’dür. Buna göre bu denklemi yazınız.

Çözüm: İkinci dereceden denklemi elde etmek için hemen standart denklem formatını oluşturalım. Denklemimiz ax2 + bx + c olsun. Burada –b/a = -1/2 olarak verilmiştir. Aynı şekilde c/a = -3 şeklinde verilmiştir. Buradan a, b ve c katsayılarını bulurken bize verilen diğer bilgiyi kullanacağız.

x1 + x2 = -1/2

x1.x2 = -3

x12 + x22 = 25/4

(x - y)2 = x2 - 2xy + y2 özdeşliğinden faydalanalım.

(x1 - x2)2 = x12 – 2.x1.x2+ x22 = 25/4 – 2. (-3) = 49/4 (her iki tarafın karekökünü alırsak)

x1 – x2 = 7/2 çıkar. (kökler farkını elde ettik.)

Kökler toplamı ve kökler farkı denklemlerini birlikte çözelim.

x1 + x2 = -1/2

x1 – x2 = 7/2 (iki denklemi toplarsak)

2x1 =  6/2 = 3 olur. Buradan x1 = 3/2 bulunacaktır.

Kökler toplamı x1 + x2 = 3/2 + x2 = -1/2 olduğundan x2 = -2 bulunur.

Şimdi sırada a, b ve c değerlerini bulmak kaldı. Denklem köklerini yerine yazarsak;

(x – 3/2).(x+2) = 0 denklemini kurarız. Kesirli ifaden kurtulmak için ilk kısmı 2 ile genişletsek eşitlik bozulmaz.

(2x – 3). (x +2) = 0 = 2x2 + x – 6 bulunur. Denklemde test yaptığımız zaman kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini sağladığını da görürüz.

Görüldüğü gibi kökler toplamı ve çarpımı bilinen bir denklem yazmak için verilen yardımcı bir bilgiyi kullandık. Bize başka bir bilgi verilseydi o bilgiyi kullanmak için başka eşitlikler kurmamız gerekecekti.


Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap