Simetrik İki Kök

23 Aralık 2016 11:41

Denklem kökleriyle ilgili olarak “simetrik iki kök” kavramı karşımıza çok çıkmaktadır. Simetrik iki kökün ne olduğunu bilirsek soruları daha doğru yorumlarız. Soruda bize simetrik iki kökle verilmek istenen bir bilgi vardır. Öncelikle denklemde kök ne demektir ona değinelim. Yazıyı sonuna kadar okursanız çok önemli bir şeyi öğrenmiş olacaksınız.

Denklemin Kökü

Bir denklemin kökü o denklemi sağlayan değerdir. Denklem çözerken denklemin bir tarafı genellikle 0’a eşitlenir. Denklem kaçıncı derecedense denklemin reel sayılarda o kadar kökü vardır.

Birinci derecede denklemde bir kök vardır:

Örneğin x + 2 = 9 denklemini çözmek için bir tarafı 0’a eşitleyelim. 9’u sol tarafa – işaretiyle atarsak x – 7 = 0 denklemini elde ederiz. Buradan da x = 7 çıkar. 7 bu denklemin tek köküdür.

Denklem ikinci dereceden olursa bu sefer kök sayısı ikiye çıkar.

(x- 2).(x+3) = 0 ifadesinde ikinci dereceden bir denklem vardır. Bu denklemi 2 ve -3 değerleri 0’a eşitler. Bu değerler bu denklemin köküdür. Denklemi açarsak içerisinde x2’li ifade olduğunu görebiliriz. Bu da denklemin ikinci dereceden olduğunu gösterir.

(x- 2).(x+3) = x2 + x – 6 = 0

Denkleminin simetrik iki kökü vardır diyorsa bu denklemin ikinci dereceden olması gerekir. Demek ki simetrik iki kök kavramı ikinci derece denklemler için geçerlidir.

Grafikte Denklem Kökleri

İkinci dereceden denklemin kökleri onları sıfır yapan noktalardır dedik. Bu durum grafikte y’nin 0 olduğu yani eğrinin x eksenini kestiği durumlarda mümkündür. Demek ki bir grafikte denklemin kökleri x eksenini kesen noktalardır.

Aşağıdaki grafik ikinci derecen bir denklemin grafiğidir. Grafiğe bakarak denklem köklerinin -1 ve -3 olduğunu rahatlıkla anlayabiliriz.

grafikte denklem kökleri

Simetrik iki kök olduğu zaman grafiğin x eksenine değen iki noktanın y eksenine göre simetrik olması gerekir. Bu da köklerin zıt işaretli olması demektir. Yani bir kök 2 ise diğer kök -2 olur. Bir kök 3 ise diğer kök -3 olur.

Aşağıdaki denklemin kökleri 1 ve -1’dir. Denklemin simetrik iki kökü vardır. Dolayısıyla grafikten de bu simetrik görülmektedir.

simetrik iki kök

Buradan şöyle bir sonucu çıkarabiliriz. Eğer kökler zıt işaretliyse o zaman kökler toplamı 0 olur. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı –b/a formülü ile bulunur. Bu formülün 0’a eşit olması için de b’nin 0 olması gerekir.

Sonuç olarak simetrik iki kök varsa kökler toplamının 0 olması gerekmektedir. Bu da (x-3).(x+3) = 0 gibi denklemlerde mümkündür. Aşağıdaki denklemlerin simetrik iki kökü bulunmaktadır.

  • X2 – 4 = 0
  • X2 – 9 = 0
  • X2 – 16 = 0

Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap