Düzgün Çembersel Hareket Konu Anlatımı

Hareket eden bir cismin sabit bir eksen veya sabit bir nokta etrafında sabit büyüklükte bir hızla dönmesine düzgün çembersel hareket denir. Düzgün çembersel hareketi öğrenmemiz, lunaparktaki dönme dolabın hareketinden tutun da uydu ve gezegenlerin hareketine kadar doğadaki birçok olayı açıklamak açısından önemlidir. Ayrıca atom fiziğinde elektronların dönme hareketini anlamak için de çembersel hareketin mantığını bilmek gerekir.

Düzgün çembersel hareketi öğrenmek için konuyla ilgili temel kavramları iyi bilmemiz gerekir. Bu kavramlar daha sonra basit harmonik hareket konusunda da işimize yaratacaktır.

Düzgün Çembersel Hareketle İlgili Kavramlar

Bir cismin çembersel hareket yapabilmesi için merkeze doğru çeken bir kuvvete maruz kalmalıdır. Hareketin düzgün çembersel hareket olabilmesi için ise uygulanan bu kuvvetin sabit olması gerekir. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denmektedir.

Belirli zaman aralıklarıyla tekrar eden hareketlere periyodik hareket denmektedir. Düzgün çembersel hareket periyodik harekete örnek olarak gösterilebilir.

Periyot (T): Düzgün çembersel yörüngede hareket yapan bir hareketlinin bir tur döndüğünde geçen süreye periyot denir. Periyot T sembolüyle gösterilir ve skaler bir büyüklüktür. SI (Uluslararası Birim Sistemi)’da birimi saniyedir (s).

Frekans (f): Periyodik hareket yapan bir cismin 1 saniyede yaptığı tur sayısına denir. Yani periyodun tam tersidir. Frekans f sembolüyle gösterilir ve skaler bir
büyüklüktür. Uluslararası birim sistemine göre birimi Hertz’dir (Hz).

Periyot ile frekans arasında matematiksel olarak T⋅f = 1 ilişkisi vardır. Buradan da T = 1/f veya f = 1/T bağıntıları elde edilir. Örneğin periyodu 2 saniye olan bir hareketin frekansı 1/2 = 0,5 Hz olur.

Çizgisel Hız (V): Cismin yörünge üzerinde ilerleme hızıdır. Bildiğimiz gibi hız yolun zamana bölümüdür. Çembersel yörüngenin yarıçapına r dersek yörünge uzunluğu 2π.r olarak bulunacaktır. Cismin yörüngeyi dolanma süresi de T (periyot) olduğuna göre, V = 2π.r / T bağıntısı kurulabilir. Yukarıdaki T = 1/f bağıntısına göre T yerine 1/f yazılırsa V = 2π.r.f elde edilir. SI'da birimi m/s şeklindedir.

Çizgisel hız vektörel bir büyüklüktür. Hareket sırasında düzgün çembersel hareket olduğu için hız vektörünün büyüklüğü sabittir. Ancak hız vektörünün yönü değiştiği için çizgisel hız değişir. Çizgisel hız vektörü her zaman yörüngeye teğettir.

Düzgün çembersel hareketi gerçekleştiren cismin herhangi bir anda bulunduğu yere merkezden çizilen vektöre yarıçap vektörü denir. Yarıçap vektörü için r sembolü kullanılır. Yarıçap vektörü aynı zamanda konum vektörüdür.

Açısal Hız (ω): Yarıçap vektörünün birim zamanda taradığı açıya açısal hız denmektedir. Yine vektörel bir büyüklüktür. Birimi rad/s şeklindedir. Yani açı birimi radyandır. Yarıçap vektörü bir tam tur süresinde yani bir periyot sürede 2π radyan kadar açı tarar. Öyleyse açısal hız ω = 2π / T veya ω = 2π.f formülleriyle ifade edilebilir.

Çizgisel hız ile açısal hız arasında yukarıda görüldüğü şekilde V = ω.r ilişkisi vardır.

Merkezcil İvme (a): Yukarıda belirttiğimiz gibi hız vektörünün büyüklüğü değişmez ancak yönünü değişir. Bu değişikliğe neden olan faktör ise merkezcil kuvvettir. Merkezcil kuvvetin bir sonucu olarak da merkeze doğru merkezcil ivme oluşur. Merkezcil kuvvet sabit olduğu için ivme de sabittir. Yani sabit ivmeli dairesel hareket yapılmaktadır.

Merkezcil ivme a_merkezcil = V² / r = ω².r formülüyle bulunabilir. Birimi SI birim sisteminde m/s² şeklindedir.

Merkezcil Kuvvete Etki Eden Faktörler

Merkezcil ivmenin merkezcil kuvvet tarafından oluşturulduğunu söyledik. Mekaniğin genel prensibi olan F = m.a bağıntısına göre ivme ile kuvvet arasında kütle oranı vardır. Öyleyse merkezcil ivmeyi kütle ile çarparsak merkezcil kuvveti bulabiliriz. F_mer = m.V² / r = m.ω².r olarak elde edilebilir.

Merkezcil kuvvet daima merkeze doğrudur. Bu nedenle çizgisel hız vektörüyle merkezcil kuvvet vektörünü birbirine diktir. Merkezcil ivme vektörü de kuvvet vektörüyle aynı yöndedir.

Yatay Düzlemde Çembersel Hareket

Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapıldığında ip gerilmesi merkezcil kuvvetin büyüklüğüne eşit olur. Çünkü ağırlık kuvveti ip doğrultusunda değildir.

Düşey düzlemde zeminin tepki kuvveti ile cismin ağırlığı birbirine eşittir. Bu nedenle ip gerilmesi doğrudan merkezcil kuvvete eşittir. Öyleyse T_ip = m.V² / r bağıntısını yapabiliriz.

Düşey Düzlemde Düzgün Çembersel Hareket

Düşey düzlemde çembersel harekette durum değişmektedir. Çünkü ağırlık vektörü ip gerilmesine etki etmektedir. Cisim farklı konumlardayken ağırlık farklı etkiler oluşturmaktadır. Bu nedenle cismin konumuna göre ip gerilmesi değişir. İp gerilmelerini dengenin genel prensiplerine göre bulabiliriz. Aşağıdaki şekilde düşey düzlemde çembersel hareket yapan bir cisim kuvvet bileşenleriyle birlikte gösterilmiştir.

Görüldüğü gibi cisim aşağıdayken ip gerilmesi maksimum, cisim yukarıdayken ip gerilmesi minimum olmaktadır.

Dönerek Öteleme Hareketi

Hareket eden bir cisim mutlaka öteleme, dönme ya da titreşim hareketi yapar. Düz yolda yürüdüğümüz zaman öteleme hareketi yapar ve yer değiştiririz. Çembersel hareket eden cisimler ise merkezleri sabit tutulmamış ise hem dönme hem de öteleme hareketi yapacaktır. Bu nedenle ötelemeden gelen kinetik enerjilerinin yanında bir de dönme kinetik enerjileri olacaktır.

Dönerek öteleme hareketine verilebilecek en basit ve güzel örnek araba tekerleğidir. Araba yolda giderken tekerler hem dönme hem de öteleme hareketi yapar.

Dönerek ilerleyen cismin her tarafında öteleme hızı eşit olur. Dönme hızı ise o noktadaki çizgisel hızdır. Bir noktanın yere göre hızı ise öteleme hızıyla dönme hızının vektörel bileşkesidir. Şekilde görüldüğü üzere dönen tekerin yere temas ettiği noktada bileşke hız 0 olmaktadır.

Eylemsizlik Momenti

Cisimlerin var olan hareket durumlarını koruma eğilimine eylemsizlik denir. Döndürülmeye çalışılan cisimlerin dönmeye karşı gösterdikleri dirence eylemsizlik momenti denmektedir. Bir cismin eylemsizlik momenti o cismi oluşturan her molekülün dönme eksenine göre momentlerinin toplanmasıyla bulunur.

Eylemsizlik momenti I sembolüyle gösterilir ve I = m.r² bağıntısıyla ifade edilir.

Bu bağıntıya göre eylemsizlik momenti;

• Cismin kütlesine
• Cismi meydana getiren tüm moleküllerin dönme eksenine uzaklığına
• Cismin geometrik şekline

Bağlı olacaktır. Cisimlerin eylemsizlik momentlerini ezbere bilmemiz zordur. Aşağıda bazı geometrik şekillerin eylemsizlik momentini veren bağıntılar gösterilmiştir.

Dönme Kinetik Enerjisi

Yukarıda dönerek öteleme yapan cisimlerin hem dönme hem de öteleme kinetik enerjisi olduğunu söyledik. Öteleme kinetik enerji bağıntısını biliyoruz zaten. E_öteleme = 1/2.m.V² ile öteleme yapan cisimlerin kinetik enerjisini bulabiliriz.

Tekerler gibi dönerek ilerleyen cisimlerin bir de dönme kinetik enerjileri vardır. Dönme kinetik enerjisi eylemsizlik momenti ve açısal hızla ilişkilidir. E_dönme = 1/2.I.ω² bağıntısıyla ifade edilir.

Öyleyse dönerek ötelenen bir cismin toplam kinetik enerjisi E_K = E_Öteleme + E_Dönme şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda E_K = 1/2.m.V² + 1/2.I.ω² formülünü elde ederiz.

Konuyu iyi anlamanız açısından basit bir örnek soru soralım.

Örnek: Sürtünmesiz eğik düzlemde aşağı bırakılan eşit kütleli silindir ve küpten silindir dönerek, küp ise kayarak aşağı insin. Bu durumda hangisi daha erken zemine varacaktır?

Çözüm: Cisimlerin sahip olduğu potansiyel enerji zemine inene kadar zamanla kinetik enerjiye dönüşecektir. Kayarak ilerleyen küpte bütün enerji ötelenmeye, dönerek ilerleyen silindirde ise enerjinin bir kısmı dönmeye harcanacaktır. Bu durumda küp daha kolay hızlanacak ve daha yüksek hıza ulaşacaktır. Sonuç olarak silindir daha düşük hızla ve daha geç zemine varacaktır.

Açısal Momentum

Çizgisel momentumun P = m.V formülüyle bulunduğunu biliyoruz. Cismin momentumu ne kadar büyükse yaratacağı etki de o kadar büyük olur. Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin ise aynı şekilde bir açısal momentumu vardır. Bir vidayı sıktığımızda onun zeminde ilerlemesini sağlayan etki dönme etkisiyle ortaya çıkan açısal momentumdur.

Açısal momentum vektörel bir niceliktir. Yani yönü vardır. L sembolüyle gösterilir. SI birim sisteminde kg.m² / s şeklindedir.

Açısal Momentum ve Çizgisel Momentum Arasındaki İlişki

Çembersel bir yörüngede dolanmakta olan bir cismin P = m.V ile ifade edilen çizgisel momentumu vardır. Bunu yarıçap vektörüyle vektörel çarparsak L = P.r şeklinde açısal momentumu elde edebiliriz.

Formülde çizgisel momentumu da yazarsak en temel eşitlik L = m.V.r şeklinde ifade edilebilir. Eğer çizgisel hız yerine açısal hız kullanmak istiyorsak V = ω.r yazabiliriz. Bu durumda L = m.ω.r² elde edilir. Ayrıca yukarıda değindiğimiz gibi eylemsizlik momenti I = m.r² olduğuna göre son eşitlikte m.r² yerine I yazsak L = I.ω eşitliği ortaya çıkacaktır.

Açısal momentum formüllerini kısaca şu şekilde toparlayabiliriz:

• L = P.r
• L = m.V.r
• L = m.ω.r²
• L = I.ω

Açısal Momentum Korunumu

Atom çekirdeği etrafında dolanan elektronlardan tutun da güneş sistemindeki gezegenlerin dolanımına kadar mikro ve makro ölçekteki birçok hareket açısal momentum korunumu kanununa uyar. Sisteme dışarıdan bir etki yoksa çizgisel momentum korunur. Aynı şekilde sisteme dışarıdan bir etki yoksa açısal momentum da değişmeyecektir. Bu duruma açısal momentumun korunumu yasası denir.

Örneğin güneş sisteminde bir gezegen güneşe yaklaştığı zaman yörünge yarıçapı küçülür. Açısal momentum sabit olduğu için L = m.V.r bağıntısı gereği r küçüldüğünden V artacaktır. Aynı şekilde eliptik yörüngede gezegen güneşten uzaklaşınca da çizgisel hız azalacaktır.

Yine dönerek paten gösterisi yapan bir sporcu dönme sırasında kollarını kendine doğru kapattığı zaman eylemsizlik momenti (eylemsizlik torku) küçülür. Ancak dışarıdan bir etki olmadığı için açısal momentum korunur. L = I.ω bağıntısına göre I küçüldüğü için açısal hız artar ve sporcu daha hızlı döner.