Yamuk - Konu detayı - Webders.net
Geometri

Yamuk

Alt ve üst kenarları birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk denir. Yamuk özel dörtgenlerden biridir. Şekline baktığınız zaman sıradan bir dörtgen gibi görünür. Yamuk ile sıradan bir dörtgenin farkı yamuÄŸun iki kenarının paralel olmasıdır.

yamuk

Şekilde ABCD yamuÄŸu verilmiÅŸtir. [AB] // [DC] kenarlarının paralellik durumu dörtgeni yamuk yapmaktadır. ParalelliÄŸin sonucu olarak x + y = 180° eÅŸitliÄŸi vardır.

Yamuk Özellikleri

Yamuk özellikleri bilinirse yamuk özelliÄŸi taşıyan geometrik ÅŸekillere daha doÄŸru bir yaklaşım sergilenebilir. YamuÄŸun en önemli özelliÄŸi iki kenarın paralel olmasıdır.

Soru: Her paralelkenar bir yamuk mudur?

Cevap: Paralelkenarın kenarları paralel olduÄŸuna göre elbette yamuktur. DiÄŸer iki kenarın da paralel olması bu durumu deÄŸiÅŸtirmez. Paralelkenar, eÅŸkenar dörtgen, dikdörtgen, kare gibi çokgenlerin hepsi yamuk olma özelliÄŸini de taşırlar aynı zamanda.

Yamukta Açılar

Yamukla ilgili en önemli durum paralelliktir. ParalelliÄŸin sonucu olarak da paralel açılar bütünlerdir. Bu konuda açı ile ilgili karşımıza çıkan durumların geneli bunla ilgidir. Şimdi yamukta açılar ile ilgili bir örnek yapalım ve paralelliÄŸi nasıl kullanacağımızı görelim.

yamukta açı sorusu

Soru: Yukarıdaki ÅŸekilde yamuk içerisinde bir üçgen verilmiÅŸtir. Aynı zamanda C açısı A açısının 2 katıdır. Buna göre x açısın kaç derece olduÄŸunu bulunuz.

Çözüm: Yamukta paralellikten dolayı iç ters açı durumları oluÅŸmuÅŸtur. Bu nedenle x açısını aynı ÅŸekilde aÅŸağı yazabiliriz.

yamukta açı sorusu çözümü

Yine paralellikten dolayı D ve A açıları bütünler açılar olacaktır. D açısı 130 derece olduÄŸuna göre A açısı 50 derece olacaktır. C açısı ise A açısının 2 katı olduÄŸundan 100 derece olacaktır.

Sonuçta ortaya çıkan üçgende 100 + 2x = 180 eÅŸitliÄŸi kurulur. Buradan da x = 40° bulunur.

Yamukta Orta Taban

Yamukta paralel olan iki kenar çoÄŸunlukla eÅŸit uzunluk olmaz. Ä°ki kenarın da aritmetik ortalamasına sahip orta taban dediÄŸimiz hayali bir çizgiye ihtiyaç duyarız. Orta taban uzunluÄŸu aritmetik uzunluk olduÄŸu için konumu da iki kenarın ortasında olur.

yamuk orta taban

Yukarıdaki yamukta E ve F noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır. Bu durumda [EF] doÄŸru parçası orta taban olur. |EF| uzunluÄŸu ise iki paralel kenarın aritmetik ortalamasına eÅŸittir. Orta taban da haliyle bu kenarlara paralel olacaktır.

|AB| = a, |DC| = c ⇒ |EF| = (a + c) / 2 olur.

Yamukta orta tabanı anlamak için çok basit bir örnek yapalım.

Örnek: AÅŸağıdaki yamukta kenarların orta noktaları birleÅŸtirilerek bir doÄŸru parçası elde edilmiÅŸtir. Bu doÄŸru parçasının uzunluÄŸu nedir?

orta taban örnek

Çözüm: Orta noktalar birleÅŸtirildiÄŸine göre ortaya çıkan doÄŸru parçası orta taban olacaktır. Bu durumda uzunluk 11 ve 7'nin orta noktası olan 9 olacaktır.

Yamukta KöÅŸegen ve Orta Taban Ä°liÅŸkisi

Yamuk için en önemli özelliÄŸin paralellik olduÄŸunu söyledik. Orta taban ve köÅŸegen çizilirse paralellikten dolayı ortaya çıkan üçgenlerde benzerlik teori uygulayabiliriz. Orta taban iki kenarı da iki eÅŸit parçaya ayırdığı için benzerlik oranı da 1'e 2 olacaktır.

orta taban köÅŸegen iliÅŸkisi

Yukarıdaki yamukta orta taban ve köÅŸegenlerden biri çizilmiÅŸtir. Burada orta tabanda bölüne parçaların yamuk tabanlarının oranının 1/2 olduÄŸu görülmektedir.

Yamukta Alan

Yamuk ile ilgili diÄŸer bir husus yamukta alan hesabıdır. Yamukta alan ile orta taban arasında sıkı bir iliÅŸki vardır. Elbette bütün dörtgenlerde olduÄŸu gibi burada da bir yüksekliÄŸe ihtiyaç duyarız. Yükseklik olduktan sonra yamuÄŸu iki üçgene ayırıp alanı hesaplanabilir. Ancak iki kenarın ortalaması deÄŸerinde olan orta tabanı yükseklikle çarptığımızda alanı doÄŸrudan elde ederiz.

YamuÄŸun alanı = Orta taban x yükseklik

YamuÄŸun alanı ile ilgili edindiÄŸimiz temel bilgiyi basit bir örnekte uygulayalım.

Örnek: AÅŸağıdaki yamukta paralel kenar uzunlukları 4 ve 6 birim olarak verilmiÅŸtir. YüsekliÄŸi de 8 birim olarak verilen bu yamuÄŸun alanı kaç birim2 olur?

yamukta alan örneÄŸi

Çözüm: YamuÄŸun alanı için elimizde yükseklik olduÄŸuna göre orta tabana ihtiyacımız vardır. Orta taban uzunluÄŸu paralel iki kenarın aritmetik ortalamasıydı. Öyleyse orta taban = (4 + 6) / 2 = 5 olur.

Yükseklik = 8 birim olduÄŸundan, alan = 8.5 = 40 birim2 bulunur.

EÄŸer orta tabanı hesaplamasaydık o zaman iki üçgene ayırıp alanı hesabı yapmamız gerekirdir. Ä°ki üçgenin alanını da aynı yükseklik deÄŸeriyle hesaplayacaktık. Herhangi bir köÅŸeden çizdiÄŸimizde taban uzunlukları 4 ve 6 birim olan, yüksekliÄŸi ise 8 birim olan iki üçgen elde edecektik.

Bu durumda alan = 4.8/2 + 6.8/2 = 40 bulunacaktı. GördüÄŸünüz gibi alan hesabını verilen duruma göre orta taban ile ya da üçgenlere ayırarak yapabilmekteyiz.

Orta tabanla ilgili bilmemiz gereken bir özellikte yüksekliÄŸi de iki eÅŸ parçaya ayırmasıdır. Bunu bir kural olarak deÄŸil mantık olarak bilmemiz gerekir.

yamukta alan sorusu

Yukarıdaki ÅŸekilde orta taban uzunluÄŸu 18 cm olarak verilen bir yamuÄŸun orta taban ile kenar arasındaki dikmenin uzunluÄŸu da 5 cm olarak verilmiÅŸtir. Bu durumda yamuÄŸun alanı kaç cm2 olur?

YamuÄŸun alanı sorulduÄŸuna göre orta taban ve yüksekliÄŸe ihtiyacımız vardır. Orta taban elimizde veri olarak bulunuyor. Yükseklik de orta tabandan çizilmiÅŸ bir ÅŸekilde verilmiÅŸtir. Öyleyse yamuÄŸun yüksekliÄŸi orta tabandan indirilen dikmenin iki katı olacaktır. Yani yamuk yüksekliÄŸi 10 cm olacaktır.

Bu durumda yamuÄŸun alanı = Yükseklik x orta taban = 10x18 = 180 cm2 bulunur.

Yamukta Alan Oranları

Yamukta köÅŸegenleri çizersek ortaya çıkan ÅŸekillerde benzerlik oranıyla uyuÅŸacak ÅŸekilde alan oranları elde edilir.

Yamukta köÅŸegenler sonucunda ortaya çıkan dört üçgenden ikisinin alanı eÅŸit olur. DiÄŸer iki üçgenin alanları ise benzerlik oranının karesiyle orantılıdır. Alan çarpım sonucu olarak ortaya çıkan iki boyutlu bir özellik olduÄŸundan deÄŸeri de benzerlik oranının karesiyle orantılı olmak durumundadır.

yamukta alan oranları

Yukarıdaki ÅŸekilde yamukta alan oranları ile ilgili temel bilgiler verilmiÅŸtir. AÅŸağıdaki ÅŸekilde ise alan oranları rakamlarla örneklendirilmiÅŸtir.

yamukta alan oranları örneÄŸi

Ä°kizkenar Yamuk

Yamuklar içerisinde özel yamuk diyebileceÄŸimiz örnekler vardır. Bunlardan ilki ikizkenar yamuk ÅŸeklidir. Ä°kizkenar yamuk paralel olmayan kenarların eÅŸit uzunlukla olmasıyla ortaya çıkar. Ä°kizkenar yamukta eÅŸit kenar eÅŸit açı manasına da gelmektedir.

Ä°kizkenar yamukta eÅŸit kenarların tabanlarla yaptığı açılar eÅŸit olur. Bu nedenle köÅŸegenler ile ortaya çıkan üçgenlerde de çeÅŸitli eÅŸitlikler ortaya çıkar.

ikizkenar yamuk

Yukarıda bir ikizkenar yamuk üzerinde eÅŸitlikler gösterilmiÅŸtir. EÅŸitlikten dolayı oluÅŸan simetri de dik çizilen d doÄŸrusu ile gösterilmiÅŸtir. Bu doÄŸru köÅŸegenlerin kesim noktasından geçer ve yamuÄŸun simetri eksenidir.

Dik Yamuk

Özel yamuklar içerisinde diÄŸer bir geometrik ÅŸekil dik yamuk dediÄŸimiz ÅŸekildir. Burada kenarların birisi paralel kenarlara diktir. Kısmen yamuÄŸa göre daha düzenli bir ÅŸekil elde edilmiÅŸtir.

Dik yamuk sorularında uzunluk ve açı hesabı yaparken verilen dikmenin karşısında paralel bir dikme çizmek çok önemlidir.

Dik yamukta dik kenar aynı zamanda yamuÄŸun yüksekliÄŸi manasına gelir. DoÄŸal olarak alan hesabı bu kenar ile yapılır.

dik yamuk

Yukarıdaki ÅŸekilde en klasik haliyle bir dik yamuk örneÄŸi verilmiÅŸtir. YamuÄŸun kısa kenar c uzun kenarı da a birimdir. YüksekliÄŸin h birim olduÄŸuna göre alan = h.(a + c)/2 formülü ile bulunacaktır.

Yorumlar
Sen de Yaz