Geometri

Yamuk

Alt ve üst kenarları birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk denir. Yamuk özel dörtgenlerden biridir. Şekline baktığınız zaman sıradan bir dörtgen gibi görünür. Yamuk ile sıradan bir dörtgenin farkı yamuğun iki kenarının paralel olmasıdır.

yamuk

Şekilde ABCD yamuğu verilmiştir. [AB] // [DC] kenarlarının paralellik durumu dörtgeni yamuk yapmaktadır. Paralelliğin sonucu olarak x + y = 180° eşitliği vardır.

Yamuk Özellikleri

Yamuk özellikleri bilinirse yamuk özelliği taşıyan geometrik şekillere daha doğru bir yaklaşım sergilenebilir. Yamuğun en önemli özelliği iki kenarın paralel olmasıdır.

Soru: Her paralelkenar bir yamuk mudur?

Cevap: Paralelkenarın kenarları paralel olduğuna göre elbette yamuktur. Diğer iki kenarın da paralel olması bu durumu değiştirmez. Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare gibi çokgenlerin hepsi yamuk olma özelliğini de taşırlar aynı zamanda.

Yamukta Açılar

Yamukla ilgili en önemli durum paralelliktir. Paralelliğin sonucu olarak da paralel açılar bütünlerdir. Bu konuda açı ile ilgili karşımıza çıkan durumların geneli bunla ilgidir. Şimdi yamukta açılar ile ilgili bir örnek yapalım ve paralelliği nasıl kullanacağımızı görelim.

yamukta açı sorusu

Soru: Yukarıdaki şekilde yamuk içerisinde bir üçgen verilmiştir. Aynı zamanda C açısı A açısının 2 katıdır. Buna göre x açısın kaç derece olduğunu bulunuz.

Çözüm: Yamukta paralellikten dolayı iç ters açı durumları oluşmuştur. Bu nedenle x açısını aynı şekilde aşağı yazabiliriz.

yamukta açı sorusu çözümü

Yine paralellikten dolayı D ve A açıları bütünler açılar olacaktır. D açısı 130 derece olduğuna göre A açısı 50 derece olacaktır. C açısı ise A açısının 2 katı olduğundan 100 derece olacaktır.

Sonuçta ortaya çıkan üçgende 100 + 2x = 180 eşitliği kurulur. Buradan da x = 40° bulunur.

Yamukta Orta Taban

Yamukta paralel olan iki kenar çoğunlukla eşit uzunluk olmaz. İki kenarın da aritmetik ortalamasına sahip orta taban dediğimiz hayali bir çizgiye ihtiyaç duyarız. Orta taban uzunluğu aritmetik uzunluk olduğu için konumu da iki kenarın ortasında olur.

yamuk orta taban

Yukarıdaki yamukta E ve F noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır. Bu durumda [EF] doğru parçası orta taban olur. |EF| uzunluğu ise iki paralel kenarın aritmetik ortalamasına eşittir. Orta taban da haliyle bu kenarlara paralel olacaktır.

|AB| = a, |DC| = c ⇒ |EF| = (a + c) / 2 olur.

Yamukta orta tabanı anlamak için çok basit bir örnek yapalım.

Örnek: Aşağıdaki yamukta kenarların orta noktaları birleştirilerek bir doğru parçası elde edilmiştir. Bu doğru parçasının uzunluğu nedir?

orta taban örnek

Çözüm: Orta noktalar birleştirildiğine göre ortaya çıkan doğru parçası orta taban olacaktır. Bu durumda uzunluk 11 ve 7'nin orta noktası olan 9 olacaktır.

Yamukta Köşegen ve Orta Taban İlişkisi

Yamuk için en önemli özelliğin paralellik olduğunu söyledik. Orta taban ve köşegen çizilirse paralellikten dolayı ortaya çıkan üçgenlerde benzerlik teori uygulayabiliriz. Orta taban iki kenarı da iki eşit parçaya ayırdığı için benzerlik oranı da 1'e 2 olacaktır.

orta taban köşegen ilişkisi

Yukarıdaki yamukta orta taban ve köşegenlerden biri çizilmiştir. Burada orta tabanda bölüne parçaların yamuk tabanlarının oranının 1/2 olduğu görülmektedir.

Yamukta Alan

Yamuk ile ilgili diğer bir husus yamukta alan hesabıdır. Yamukta alan ile orta taban arasında sıkı bir ilişki vardır. Elbette bütün dörtgenlerde olduğu gibi burada da bir yüksekliğe ihtiyaç duyarız. Yükseklik olduktan sonra yamuğu iki üçgene ayırıp alanı hesaplanabilir. Ancak iki kenarın ortalaması değerinde olan orta tabanı yükseklikle çarptığımızda alanı doğrudan elde ederiz.

Yamuğun alanı = Orta taban x yükseklik

Yamuğun alanı ile ilgili edindiğimiz temel bilgiyi basit bir örnekte uygulayalım.

Örnek: Aşağıdaki yamukta paralel kenar uzunlukları 4 ve 6 birim olarak verilmiştir. Yüsekliği de 8 birim olarak verilen bu yamuğun alanı kaç birim2 olur?

yamukta alan örneği

Çözüm: Yamuğun alanı için elimizde yükseklik olduğuna göre orta tabana ihtiyacımız vardır. Orta taban uzunluğu paralel iki kenarın aritmetik ortalamasıydı. Öyleyse orta taban = (4 + 6) / 2 = 5 olur.

Yükseklik = 8 birim olduğundan, alan = 8.5 = 40 birim2 bulunur.

Eğer orta tabanı hesaplamasaydık o zaman iki üçgene ayırıp alanı hesabı yapmamız gerekirdir. İki üçgenin alanını da aynı yükseklik değeriyle hesaplayacaktık. Herhangi bir köşeden çizdiğimizde taban uzunlukları 4 ve 6 birim olan, yüksekliği ise 8 birim olan iki üçgen elde edecektik.

Bu durumda alan = 4.8/2 + 6.8/2 = 40 bulunacaktı. Gördüğünüz gibi alan hesabını verilen duruma göre orta taban ile ya da üçgenlere ayırarak yapabilmekteyiz.

Orta tabanla ilgili bilmemiz gereken bir özellikte yüksekliği de iki eş parçaya ayırmasıdır. Bunu bir kural olarak değil mantık olarak bilmemiz gerekir.

yamukta alan sorusu

Yukarıdaki şekilde orta taban uzunluğu 18 cm olarak verilen bir yamuğun orta taban ile kenar arasındaki dikmenin uzunluğu da 5 cm olarak verilmiştir. Bu durumda yamuğun alanı kaç cm2 olur?

Yamuğun alanı sorulduğuna göre orta taban ve yüksekliğe ihtiyacımız vardır. Orta taban elimizde veri olarak bulunuyor. Yükseklik de orta tabandan çizilmiş bir şekilde verilmiştir. Öyleyse yamuğun yüksekliği orta tabandan indirilen dikmenin iki katı olacaktır. Yani yamuk yüksekliği 10 cm olacaktır.

Bu durumda yamuğun alanı = Yükseklik x orta taban = 10x18 = 180 cm2 bulunur.

Yamukta Alan Oranları

Yamukta köşegenleri çizersek ortaya çıkan şekillerde benzerlik oranıyla uyuşacak şekilde alan oranları elde edilir.

Yamukta köşegenler sonucunda ortaya çıkan dört üçgenden ikisinin alanı eşit olur. Diğer iki üçgenin alanları ise benzerlik oranının karesiyle orantılıdır. Alan çarpım sonucu olarak ortaya çıkan iki boyutlu bir özellik olduğundan değeri de benzerlik oranının karesiyle orantılı olmak durumundadır.

yamukta alan oranları

Yukarıdaki şekilde yamukta alan oranları ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Aşağıdaki şekilde ise alan oranları rakamlarla örneklendirilmiştir.

yamukta alan oranları örneği

İkizkenar Yamuk

Yamuklar içerisinde özel yamuk diyebileceğimiz örnekler vardır. Bunlardan ilki ikizkenar yamuk şeklidir. İkizkenar yamuk paralel olmayan kenarların eşit uzunlukla olmasıyla ortaya çıkar. İkizkenar yamukta eşit kenar eşit açı manasına da gelmektedir.

İkizkenar yamukta eşit kenarların tabanlarla yaptığı açılar eşit olur. Bu nedenle köşegenler ile ortaya çıkan üçgenlerde de çeşitli eşitlikler ortaya çıkar.

ikizkenar yamuk

Yukarıda bir ikizkenar yamuk üzerinde eşitlikler gösterilmiştir. Eşitlikten dolayı oluşan simetri de dik çizilen d doğrusu ile gösterilmiştir. Bu doğru köşegenlerin kesim noktasından geçer ve yamuğun simetri eksenidir.

Dik Yamuk

Özel yamuklar içerisinde diğer bir geometrik şekil dik yamuk dediğimiz şekildir. Burada kenarların birisi paralel kenarlara diktir. Kısmen yamuğa göre daha düzenli bir şekil elde edilmiştir.

Dik yamuk sorularında uzunluk ve açı hesabı yaparken verilen dikmenin karşısında paralel bir dikme çizmek çok önemlidir.

Dik yamukta dik kenar aynı zamanda yamuğun yüksekliği manasına gelir. Doğal olarak alan hesabı bu kenar ile yapılır.

dik yamuk

Yukarıdaki şekilde en klasik haliyle bir dik yamuk örneği verilmiştir. Yamuğun kısa kenar c uzun kenarı da a birimdir. Yüksekliğin h birim olduğuna göre alan = h.(a + c)/2 formülü ile bulunacaktır.