Geometri

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. Paralelkenar özel dörtgenler kategorisinde incelenen özel bir geometrik yapıdır. Bütün dörtgenlerde olduğu gibi paralelkenarda da birçok işlem üçgensel bölgeler yardımıyla yapılır. Üçgenlerin en temel geometrik yapılar olduğunu bahsetmiştik. Paralelkenarları detaylı incelemeden önce paralelkenar özelliklerini basitçe liste şeklinde verelim. Bu listede özetle verilenler aşağıda detaylı işlenecektir.

  • Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
  • Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.
  • Köşegenler paralelkenarı iki eş üçgene böler.
  • Paralelkenar köşegenleri birbirini ortalar.
  • Çapraz karşıt açıların ölçüsü eşittir.
  • Komşu açılar birbirini bütünler.

Paralelkenarda Açı Özellikleri

Paralelkenarda açı özellikleri doğruda açılar konusunda anlatılan paralellik doğrultusunda şekillenir. Aşağıdaki şekil paralelkenarın temel özelliklerini göstermektedir.

paralelkenar

Paralelkenara köşegen çizildiği zaman yeni açı eşitlikleri ortaya çıkar. Ayrıca köşegenlerin birbirini iki eş parçaya ayırması da önemli bir özelliktir.

paralelkenar köşegeni

Komşu açılar birbirini 180'e tamamladığı için açıortayların toplamı 90 derece olur. Bu nedenle açıortayların birleşmesiyle bir dik üçgen ortaya çıkar.

Soru: Aşağıdaki şekilde paralelkenar köşelerinde çıkan iki açıortay bir noktada birleşmiştir. Buna göre x ile gösterilen kenar uzunluğu kaç birimdir.

paralelkenar açıortay sorusu

Çözüm: Soruda şaşırtma amacıyla x kenarı karşıda verilmiştir. Ancak karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğu için aşağıdaki kenar da aynen x olacaktır. Açıortayların oluşturduğu üçgen dik üçgen olacağı için soruda Pisagor bağıntısı kullanılır.

22 + 42 = x2 olur. Buradan x = |AB| = |DC| = √20 = 2√5 olur.

Paralelkenarda Benzerlik

Özellikle kelebek benzerliği soruları başta olmak üzere paralelkenarda benzerlik çok ön plana çıkmaktadır. Çünkü benzerlik açıların eşit olmasını gerektirir. Bu da paralellikle mümkün olmaktadır. Paralelkenarda açı ve benzerlik uygulamalarını iyi kavrarsak konuyu da büyük oranda halletmiş oluruz.

Aşağıdaki soruda çeşitli bilgiler verilmiş ve x uzunluğu sorulmaktadır. Burada kelebek benzerliği paralellikten dolayı doğal olarak ortaya çıkmaktadır.

paralelkenar benzerlik ilişkisi

Soruda dikkat edilirse |AD| kenarı x + 6 olarak verilmiştir. Eşitlikten dolayı |BC| kenarı da x + 6 olacaktır.

Benzerlik kurallarını uygularsak 4/12 = x /( x + 6) olur. Buradan da x = 3 bulunur.

Paralelkenar nedir bilmeden ve onu tanımadan paralelkenar özellikleri de bilinmez. Bu nedenle özellikleri kavramaya çalışmadan önce şekli iyi tanımak önemlidir.

Paralelkenar Alanı Hesaplama

Paralelkenarın alanı basitçe taban.yükseklik formülü ile bulunur. Üçgenlerde ikiye böldüğümüz formül burada bölmesiz karşımıza çıkar. Çünkü iki üçgenin bir araya gelmesiyle bir paralelkenarın ortaya çıktığını görebilmekteyiz. Alan hesabında hangi kenarın kullanıldığının bir önemi yoktur. Önemli olan o kenara ait yükseklikle çarpımın olmasıdır.

paralelkenar alanı

Yukarıdaki şekilde paralelkenarın alanı hesaplanırken iki yükseklik de kullanılabilir. Yani alan = |DE|.|AB| = |DF|.|BC| olur.

Sinüslü Alan Formülü

Sinüslü alan formülü paralelkenar için de büyük kolaylık sağlayan bir formüldür. Paralelkenar formülleri içersinde belki de en önemli formül budur. Aslında bu diğer geometri konularında da ortak geçen bir kuraldır. Başarılı öğrenciler bu kuralı iyi benimserler. Aslında dikliğin olduğu alan formülleri de bununla aynıdır. Sadece sin90 = 1 olduğundan formülde gösterilmez.

sünuslu alan formülü

Yukarıdaki üçgende iki kenar verilmiş ve alan istenmektedir. Bu durumda dikme indirilerek işlem rahatlıkla yapılabilir. Çünkü 60 derece özel bir açıdır. Ancak daha kolay olan burada alan hesabında sinüslü alan formülü kullanmaktadır. |BC| kenarı 8 olduğuna göre karşısındaki |AD| kenarı da 8 olacaktır.

Bu durumda paralelkenarın alanı 8.15.sin60 olacaktır. Bu da 120.√3/2 = 60√3 olur. Diğer iki kenar arasında 120 derece ile yapsak yine işlem aynı çıkacaktır. Çünkü sin60 = sin120 eşitliği vardır.

Paralelkenarda Özel Durumlar

Paralelkenarda alan ile ilgili bize pratiklik kazandıracak birçok özel durum bulunur. Bunlardan en önemlilerini görsel olarak göstereceğiz. Geometrik şekillerin üçgensel bölgelere ayrılmasıyla birçok eşitlik ortaya çıkar. Bu durum özel dörtgenlerin hepsinde geçerlidir.

paralelkenarda özel durumlar

Paralelkenarda özel durumlar kenar paralelliklerinden ve de köşegenlerin birbirini ortalamasından çıkar. Köşegenler birbirini ortaladıktan sonra bu özellikler üçgende temel bağıntılar yardımıyla çıkmaktadır. Paralelkenar konusunda formülleri ezberlemek yerine geometrisini anlamaya çalışmanız daha yararlı olacaktır.

  1. Paralelkenarda köşegenler şekli 4 eş parçaya ayırır.
  2. Tepeden bir nokta ile alt köşeler birleştirilirse alan şeklin yarısı olur.
  3. Taban uzunlukları eşit olduğunda alanlar eşit olur.
  4. Taban uzunlukları orantılıysa alanlar da aynı orandadır.

paralelkenarda alan sorusu

Şimdi bir örnekle yukarıdaki öğrendiklerimizi uygulayalım. Yukarıdaki örnekte iki kenar uzunluğu ve bir açı verilmiş. Taralı bölgenin alanını bulmamız gerekiyor.

Yukarıda taralı olmayan alana S dersek toplam alan 4S, taralı alan ise 3S olur. Bizim yapmamız gereken taralı alanı bulmak olduğuna göre taralı olmayan alanı bulup 3 ile çarpabiliriz. Taralı olmayan alanı ise dikme indirmeden sinüslü alan formülüyle bulabiliriz.

Buna göre S = 4.3√2.(√2/2)/2 = 6 olur. 3S ise 3.6 = 18 olur. Gördüğünüz gibi paralelkenar özellikleri bilindiğinde soruları çözmek çok kolay olmaktadır.