İki Küp Farkı

23.05.2018 - 07:15

İki küp farkı matematikte bilmemiz gereken önemli bir özdeşliktir. Bu özdeşliği ezbere bilmek ve kolayca yazabiliyor olmak hem çarpanlara ayırma konusunda hem de genel olarak temel matematikte çok işimize yarayacaktır.

İki küp farkı demek küpü alınmış iki sayının farkı demektir. Bunu iki sayının farkının küpü ile karıştırmamak gerekir. Şimdi iki küp farkının özdeşliğini verelim. Ardından da örnekler üzerinde duralım

x3 - y3 = (x - y).(x2 + xy + y2) şeklinde ifade edilebilir.

İki küp farkı eşitliğinde çarpımın iki parantezden oluştuğunu unutmamak gerekir. Aradaki ilk işaret - olduğu için eşitliği x- y olarak başlarız. Ardından geri kalan ifade + olur. İkinci parantezdeki ifade olan x2 + xy + y2 ;ifadesi (x + y)'nin karesiyle karıştırılmamalıdır. (x + y)2'nin formülünde aradaki xy yerine 2xy bulunmaktadır.

İlgili yazı: İki kare farkı

İki küp toplamı olarak da x3 + y3 = (x - y).(x2 - xy + y2) şeklinde ifade edilebiliriz. Burada da ilk parantezin içerisinde + işlemi, ikinci parantezin ortası ise - işaretli olacaktır. Bu eşitliklerin ıspati için parantez çarpım yapmak yeterli olacaktır.

İki küp farkı

İki Küp Farkı Örnekleri

İki küp farkı ile ilgili çözümlü sorular ile örnekler verebiliriz. Bu şekilde formülü de pekiştirmiş oluruz.

Örnek #1: x3 - 8 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 8'i 23 şeklinde yazarız. Bun durumda ifademiz x3 - 23 olur. Şimdi de bu formu formüle yerleştirelim. x3 - 23 = (x - 2).(x2 + 2x + 4) olur.


Örnek #2: a - b = 10 ve a.b = 30 olmak üzere a3 - b3 ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: a3 - b3 ifadesini açalım. a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) olur. Burada a - b ve a.b ifadelerini biliyoruz. İhtiyacımız olan tek şey a2 + b2 ifadesini bulmaktadır. Bunu bulmak için de (a - b) ifadesinin karesini alalım.

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab olur. Formülde bildiklerimizi yerine yazarsak 102 = 100 = a2 + b2 - 2.30 olur. Buradan da a2 + b2 =160 bulunur.

Şimdi özdeşlikte hepsini yerine yazalım. a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) = 10.(160 + 30) = 10.190 = 1900 bulunur.


Örnek #3: 8k3 - 125m3 ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözüm: Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8k3 - 125m3 ifadesini (2k)3 - (5m)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak (2k - 5m). (4k2 + 10km + 25m2) bulunur.

Tam Küp Farkı

Tam küp farkı ile iki küp farkı karıştırılmamalıdır. Biri iki sayının farkının küpü iken diğeri ise iki sayının küpünün farkıdır. Yani birinde parantez küp varken diğerinde parantez olmadan küp vardır.

Aradaki farkı anlamak için bu konuyla ilgili özdeşlikleri verelim.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Yukarıda küp farkı ve toplamı formülü de verilmiştir. Bu formülleri birbirine karıştırmamaya dikkat etmek gerekir.


Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap