Ardışık Sayıların Toplamı

13.10.2018 - 07:25

Ardışık sayılar ve bunlarla ilgili sorular matematikte çok sık karşımıza çıkmaktadır. 4. sınıftan itibaren karşımıza soruları çıkan bu konu hakkında iyi bilgi sahibi olursak birçok problemi de rahatlıkla çözebiliriz. Size bu yazıda genel bir yöntemle bütün ardışık sayı problemlerini nasıl çözeceğinizi öğreteceğiz.

Ardışık sayıların toplamı nasıl bulunur diyorsanız bu yazıda anlatılanları acele etmeden dikkatle takip etmeniz gerekir. Konu anlatımını uzun tutmadık ve her şeyi basitçe anlatmaya çalıştık.

Ardışık Sayılar Nedir?

Art arda belirli bir düzende gelen sayılara ardışık sayılar denir. En bilindik ardışık sayılar 1, 2, 3 şeklinde giden sayma sayılarıdır.

Ardışık sayılarda esas olan düzenin aynen devam etmesidir. Örneğin 2, 4, 6, 8 şeklinde ilerleyen sayılara ardışık çift sayılar denir. 1, 3, 5, 7 şeklinde ilerleyen sayılara ise ardışık tek sayılar denmektedir. Ancak 2, 4, 5, 8 şeklinde giden yani belli düzene uymayan sayı dizileri ardışık sayılar değillerdir.

Belirli düzende ilerleyen sayı dizilerine aritmetik dizi de denmektedir. Aritmetik dizilerin ya da ardışık sayıların toplamı için birçok formül vardır. Burada size her tür soruyu çözebileceğiniz basit ama etkili olan formülü vereceğiz ve bu formül üzerinde duracağız.

Ardışık Sayıların Toplam Formülü

Ardışık sayıların toplamı 1 + 2 + 3 + 4 ... + n = n.(n + 1) / 2 şeklindeki formülle bulunur.

Örneğin 1'den 50'ye kadar sayıların toplamı dediğimiz zaman son terim n = 50 olur. Öyleyse toplam da 50.51/2 = 1275 olacaktır.

Bu formülü her türlü soruda kullanabilirsiniz. Ancak dikkat etmeniz gereken şey formülün düzgün işlemesi için dizinin 1'den başlıyor olması gerekmektedir. 1'den başlamayan ardışık sayılarda da bu formülün nasıl kullanacağını göstereceğiz. Önce formülün nereden geldiğini bir öğrenelim.

Formülün İspatı

Aynı örnek üzerinden gidecek olursak 1'den 50'ye kadar olan sayıları formülsüz topladığımızı düşünelim. Bu durumda çok uğraşmamız gerekir. Sırayla toplamak yerine bir baştan bir de sondan sayı alma yöntemini kullanalım.

Yani 1 + 50, 2 + 49, 3 + 48 şeklinde toplama yaptığımızı düşünelim. Bu durumda son toplam 25 + 26 olacaktır. Yani bir baştan bir sondan toplarsak 25 tane toplam yapmamız gerekir. Dikkat ederseniz bütün toplamların sonucu da 51 çıkmaktadır. Öyleyse toplam da 25.51 = 1275 olacaktır. İşte burada 51'e n + 1, 25'e de n / 2 demekteyiz. Formülün çıkış noktası aslında bu kadar basittir.

1'den Başlamayan Dizilerde Ardışık Sayılar Toplamı

Eğer dizi 1'den başlamıyorsa o zaman ardışık sayıların toplam formülünü nasıl kullanacağız? Bunun için daha değişik formüller bulunmaktadır. Ancak bu formüller size karışık gelebilir. O nedenle aynı formülü kullanarak bu soruları çözmeye çalışalım.

Örneğin 21 + 22 + 23 ... + 50 toplamını bulmak için önce 1'den 50'ye kadar olan sayıların toplamını bulalım. 50.51 / 2 = 1275 olur. Ardından dizide eksek olan 1'den 20'ye kadar sayıların toplamını bulalım. 20.21/2 = 210. Bu iki sonucun farkını alırsak sorumuzun cevabını buluruz. 1275 - 210 = 1065 bulunacaktır.

Örnek: 28 + 29 + 30 ... + 100 ardışık sayı dizisinin toplamı kaçtır?

A) 4202

B) 4504

C) 4762

D) 5050

E) 5184

Çözüm: Yukarıda belirttiğimiz yöntemi kullanacağız. 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamı 100.101 / 2 = 5050 bulunur. Ardından 1'den 27'ye kadar olan sayıların toplamını bulalım. 27.28 / 2 = 378. Dizide 1'den 27'ye kadar olan sayılar eksik olduğundan aradaki farkı alırız. 5050 - 378 = 4762 bulunur. Cevap C seçeneğidir.

Ardışık Tek ve Çift Sayıların Toplamı

Daha önce aynı formülü kullanarak ardışık tek ve çift sayıların nasıl bulunacağını iki ayrı yazıda anlatmıştık.

Ardışık çift sayıların toplamında parantez alırız. Çünkü çift sayıları 2'parantezine alırsak yine ardışık sayı dizisi elde ederiz.

2 + 4 + 6 + 8 ... + 100 toplamını 2 parantezine alırsak 2(1 + 2 + 3 + 4 ... + 50) elde edilir. Çift sayıların genel terimi 2n'dir. Yani n = 50 olur. Parantezin içi 50.51/2 olacağından bunu da parantezin dışıyla çarparsak 50.51 bulunur. Yani çift sayıların toplamıyla ilgili formülümüz n.(n + 1) olacaktır.

Ardışık tek sayıların genel terimi ise 2n - 1 şeklindedir. 1 + 3 + 5 + 7 şeklinde devam eden terimlerde her terim 2n - 1 şeklinde ifade edilir. Bu durumda da toplamı veren formül n² olacaktır.

Örneğin 1 + 3 + 5 ... 21 toplamında 21 = 2n -1 olacaktır. Buradan da n = 11 olacaktır. Öyleyse bu dizinin toplamı 11'in karesi yani 121 olacaktır.

Ardışık çift sayıların toplam formülünü anlatık ancak tek sayıların toplamı neden n² oldu anlamamış olabilirsiniz. Bunu da basitçe ispatlayalım. 1 + 3 + 5 + 7 ... + (2n - 1) şeklinde devam eden bir dizide her sayıya 1 eklersek dizi 2 + 4 + 6 şekline dönecektir. Bu durumda ardışık çift sayı toplamı çıkacaktır. Ardışık çift sayı toplamının n.(n + 1) olduğunu söylemiştik. Parantezi dağıtırsak n² + n sonucunu elde ederiz. Her sayıya 1 eklediğimiz için toplamımız terim sayısı kadar yani n kadar artmıştır. n² + n sonucundan tekrar n çıkarırsak n² elde ederiz.

Diğer Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık sayıların toplamı soruları farklı şekillerde karşımıza çıkabilmektedir. Her zaman tek veya çift sayı şeklindeki serilerle karşılaşmayız.

Soru: 7 + 14 + 21 + 28 + ... + 105 ardışık sayılarının toplamı kaçtır?

A) 840

B) 880

C) 920

D) 930

E) 1050

Çözüm: Soruyu normal diziye çevirmek için artış miktarı olan 7 parantezine alırız. Bu durumda 7(1 + 2 + 3 ... + 15) elde deriz. Parantezin içini 15.16 / 2 = 120 bulunacaktır. Sonra da bunu parantezin dışındaki 7 ile çarparsak 7.120 = 840 bulunacaktır. Cevap A seçeneğidir.

Diğer bütün sorularda bu yöntemleri kullanabilirsiniz. Görüldüğü gibi mantığını bildiğimiz bir tane formül bütün sorularda bize çözüm getirmektedir. Yine de isteyen öğrenciler için bazı ardışık sayı toplamı formüllerini verelim:

Ardışık sayıların toplam formülü: 1 + 2 + 3 ... + n için n.(n + 1) / 2
Ardışık tek sayıların toplam formülü: 1 + 3 + 5 ... + (2n - 1) için n²
Ardışık çift sayıların toplam formülü: 2 + 4 + 6 ... + (2n) için n.(n + 1)
Ardışık karelerin toplamı formülü: 1² + 2² + 3² ... + n² için n.(n + 1).(2n + 1) / 6
Ardışık küplerin toplamı formülü: 1³ + 2³ + 3³ ... + n³ için [n.(n + 1) / 2]²

Etiketler:

matematik

Yorumlar

Yorum Yap