Matematik

Logaritma

Üstel Fonksiyon:

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f : R → R+

     x → f(x) = ax

şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

y = ax fonksiyonunda a ya üstel fonksiyonun tabanı denir.

Logaritma Fonksiyonu:

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere, R den Rya tanımlanan f(x) = aüstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna f-1(x) = logax logaritma fonksiyonu denir.

f : R → R+

     x → f(x) = ax

üstel fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu olarak tanımlanan logaritma fonksiyonu,

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f-1 : R→ R

          x → f-1(x) = logax

şeklinde tanımlanır.

Buna göre, üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu arasında

y = logax ⇔ x = ay

bağıntısı elde edilir.

y = logax fonksiyonunda yÎR sayısına xÎRsayısının a tabananına göre logaritması denir.

y = logax ifadesi "y eşit a tabanına göre logaritma x" diye okunur.

Örnek:

log232 = x

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log232 = x ise 2x = 32

                            x = 5

Örnek:

log4(x -3) = 2

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log4(x -3) = 2 ise 42 = x - 3

                                 x = 19

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri:

  1. y = logax fonksiyonunda a = 10 alınırsa logaritma fonksiyonuna bayağı logaritma fonksiyonu denir. y = log10x = logx şeklinde yazılır.
  2. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. y = logex = lnx şeklinde yazılır.
  3. loga1 = 0 (1 sayısının her tabandaki logaritması sıfırdır.)
  4. logaa = 1 (a Î R+ - {1} ise) (Tabanın logaritması daima 1 dir.)

Örnekler:

  • log55 = 1
  • log10 = 1
  • lne = 1
  1.  Pozitif iki gerçel sayının çarpımının a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabaındaki logaritmaları toplamına eşittir. loga(x.y) = logax + logay

Örnek:

log213 + log217

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

log213 + log217 = log21(3.7)

                             = log2121

                             = 1

  1.  Pozitif gerçel x sayısının n. kuvvetinin a tabanındaki logaritması x sayısının a tabanındaki logaritmasının n katına eşittir. logaxn = n.logax , n Î R

Örnek:

log35 = a

olduğuna göre, log3135 ifadesinin a cinsinden eşiti kaçtır?

Çözüm:

log3135 = log3(33.5)

                = log333 + log35

                = 3.log33 + log35

                = 3 + a

Örnek:

2.log5 + 3.log2

ifadesi kaça eşittir?

Çözüm:

2.log5 + 3.log2 = log52 + log23

                            = log25 + log8

                            = log(25.8)

                             = log200

  1.  Pozitif iki gerçel sayının bölümünün a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabanındaki logaritmaları farkına eşittir. loga(x / y) = logax -logay

Örnek:

log50 - log5

ifadesinin sonucu kaçtır?

Çözüm:

 log50 - log5 = log (50 / 5)

                        = log10

                        = 1

Örnek:

log2 = x

olduğuna göre log 5 in x cinsinden değeri kaçtır?

Çözüm: 

log5 = log(10 / 2)

         = log10 - log2

         = 1 - x 

  1.  Pozitif n gerçel sayısının ax tabanındaki logaritması, n sayısının a tabanındaki logaritmasının 1 / x katına eşittir. logaxn =  (1 / x).logan, ΠR - {0}

Uyarı: m ≠ 0 ve n, m Î R olamk üzere, logamb= (n / m).logab