Matematik

2. Ve 3. Dereceden Denklemler

II. Dereceden Denklemler

a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçel sayı olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Eğer varsa, bu denklemi sağlayan x gerçel sayılarına denklemin kökleri, bu köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi,  a, b, ve c sayılarına da denklemin katsayıları denir.

Örnek:

(a + 2)x3 + xb+1 + (a - b)x - 3 = 0

ifadesi x değişkenine bağlı II. dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır ?

Çözüm: 

(a + 2)x3 + xb+1 + (a - b)x - 3 = 0 ifadesinin II. dereceden bir denklem olabilmesi için,

(a + 2) = 0 ve (b + 1) = 2 olmalıdır.

         a = -2              b =1

O halde, a.b = (-2).1 = -2 dir.

II. Dereceden Denklemin Çözüm Kümesini Bulma:

a) Çarpanlara Ayırma Yöntemi:

ax2 + bx + c = 0 denklemi çarpanlarına ayrıldıktan sonra, her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek  x  değerleri bulunur.

f(x).g(x) = 0 ise, f(x) = 0 veye g(x) = 0 dır.

Örnek:

3x2 - 6x = 0

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

3x2 - 6x = 0 ise 3x.(x - 2) = 0

3x = 0 veye x -2 = 0 

x = 0 ya da x = 2

O halde, denklemin çözüm kümesi Ç = {0, 2} dir.

Örnek:

x2 - 2x -8 = 0

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

     x2 -2x - 8 = 0

(x - 4)(x + 2) = 0

x = 4 veye x = -2

Ç = {-2, 4}

Örnek:

x2 + 16 = 0

denleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir ?

A)  {-4}          B)  {0}          C)  { }         D{2}          E{4}

Çözüm:

x2 + 16 = 0 olabilmesi için, x2 = -16 olmalıdır.

Hiç bir reel sayının karesi negatif olmadığı için bu denklemin reel bir kökü yoktur.

Ç = { }                                               (Cevap: C)

b) Diskriminant (Δ) Yöntemi:

a ≠ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

Δ = b2 - 4ac olmak üzere,

x1,2 =

 -b ±  √Δ
 2a

 Örnek:

 x2 + 10x + 25 = 0

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir ?

A)  {-5, 5}        B)  {5}       C) {0, -5}        D)  {-5}         E)  {0, 5}

Çözüm:

I. Yol:

x2 + 10x + 25 = 0 ise,    (x + 5)2 = 0

x1 = x2 = -5

II. Yol:

x2 + 10x + 25 = 0 denkleminde a =1 b = 10 ve c = 25 tir.

Δ = b2 - 4.a.c   = 100 - 4.1.25 = 0

Denklemin kökleri: 

x1,2 =

 -b ±  √Δ

  

x1,2 =

 -10 ±  √0  = -5
 2a  2.1

Çözüm kümesi Ç = {-5}               (Cevap: D)

  Uyarı: ax2 + bx + c denkleminin kökleri için aşağıdaki sonuçlar çıkartılır
Δ > 0 ise  Denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır. x1 ≠  x2 ve x1, x2 Î
Δ = 0 ise  Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır. x1 = x2 ve x1, x2 Î R
Δ < 0 ise  Denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi Æ dir. x1, x2 Ï R

 Örnek:

2x2 - (m +1)x + 2 = 0

denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre, m nin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır ?

Çözüm:

 2x2 - (m +1) + 2 = 0 denkleminin birbirine eşit iki reel kökünün olabilmesi için Δ = 0 olmalıdır.

Δ  = b2 -4.a.c = (m +1)2 - 4.2.2 = 0 

(m + 1) = 16 

m +1 = 4  veya m + 1 = -4

      m = 3 veya        m = -5

O halde, m nin alabileceği değerlerin toplamı: 3 + (-5) = -2 dir.

Örnek:

4x2 - 12x + m + 5 = 0

denkleminin iki reel kökü olduğuna göre, m nin alabileceği en geniş çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

 4x2- 12x + m + 5 = 0 denkleminin iki reel kökü olduğuna göre, Δ ≥ 0 dır. 

Δ ≥ 0 ise b2 - 4.a.c ≥ 0

(-12)2 - 4.4(m + 5) ≥ 0

144 ≥ 16(m + 5)

≥ m + 5

≤ 

 ax2 + bx + c = 0 Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağlantılar:

ax+ bx + c = 0 denkleminde Δ > 0 olmak üzere,

x1 =

 -b +  √Δ
 2a

x2 =

 -b -  √Δ
 2a

olmak üzere,

Kökler toplamı = x1 + x2

 -b 
 a

Kökler çarpımı  =  x1.x2 

 -b 
 a

Köklerin mutlak değeri = |x1 - x2

 -√Δ 
 |a|

Örnek:

x2 + 6x - 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

Buna göre x1 + x2 + x1.x2 ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm:

x1 + x2 = -6 / 1 = -6

x1.x2 = -4 / 1 = -4

x1 + x2 + x1.x2 = -10

Örnek:

x2 + 3x - m -2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

2x1 + x2 = -4

olduğuna göre, m kaçtır ?

Çözüm:

x1 + x= -b / a = -3

         -x1 - x2 = 3

     + 2x1 + x2= -4

              x1 = -1

(-1)2 + 3(-1) - m - 2 = 0

1 -3 -m -2 = 0

-4 - m = 0

m = -4

2. dereceden denklemler kökler toplamı kökler çarpımı

Kökleri Verilen II. Dereceden Denklemi Bulma:

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

x1 + x2 = -b / a    ve   x1.x2 = c / a  dır.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a ile bölelim.

x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

O halde, kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem

x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0dir.

Örnek:

Kökleri -5 ve 2 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.

Çözüm:

x1 = -5 ve x2 = 2 olduğuna göre,

x1 + x2 = -3  ve x1.x2 = -10 

x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

x2 - (-3)x + (-10) = 0

x2 + 3x - 10 = 0

 Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemler:

İçinde benzer ifade bulunan denklemleri çözmek için, benzer ifadelerin yerine bir başka bilinmeyen yazılarak denklem çözülür.

Örnek:

x4 - 3x2 - 4 = 0

denkleminin reel köklerinin çarpımı kaçtır ?

Çözüm:

x4 - 3x2 - 4 = 0 denkleminde x2 yerine a diyelim.

a2 - 3a - 4 = 0 ise (a - 4)(a + 1) = 0

a = 4 veya  a = -1 dir.

x2 = 4 ise x değerleri -2 ve 2 dir.

x2 değeri -1 e eşit olamayacağından dolayı bu denklemin iki kökü vardır.

Kökler çarpımı = (-2).2 = -4 tür.

 III. Dereceden Denklemler

a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçel sayı olmak üzere,

ax3 + bx2 + cx +d = 0

ifadesine üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Üçüncü dereceden denklemin çözüm kümesi için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

Örnek:

x3 + x2 - 2x = 0

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

x+ x- 2x = 0 ise x.(x - 1)(x + 2) = 0

x1 = 0,  x2 = 1, ve x3 = -2 

Ç= {-2, 0, 1}

III. Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arsasındaki Bağlantılar:

a ≠ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun.

x1 + x+ x3 =

-b

xxx3 =

-d

xx +  x.x3  +  x1.x3  = 

c

 Örnek:

 x3 - 2x2 - 9x + 18 = 0

denkleminin kökler çarpımı kaçtır ?

Çözüm:

I. Yol:

x- 2x- 9x + 18 = 0    ise    x2(x - 2) - 9(x - 2) = 0

                                                         (x2 - 9)(x - 2) = 0

                                                (x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0

x1 = 3,   x2 = -3,   x3 = 2

Kökler çarpımı = 3.(-3).2 = -18

II. Yol:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 için

Kökler çarpımı  x1.x2.x3 = -d / a dır.

Yani;

x- 2x- 9x + 18 = 0 için

x1.x2.x3 = -18 / 1 = -18