Fibonacci Dizisi

09.06.2020 - 21:33

Matematikte çeşitli sayı dizileri bulunmaktadır. Bu dizilerden belki de en ilginci diyebileceğimiz dizi Fibonacci dizisidir. İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından geliştirilen bu dizi gerçekten de içerisinde birçok sır barındırıyor. Bu yazıda Fibonacci dizisi nedir, özellikleri nelerdir gibi konulara değinecek ve birbirinden önemli bilgiler paylaşacağız.

Fibonacci dizisi ya da serisi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... şeklinde devam eden sonsuz bir sayı dizisidir. Bazı kaynaklarda seri 1'den başlatılır. Yani 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 şeklinde devam edilir. Ancak genel kanı 0'ın da bu sayıya dahil edilmesidir.

İlk terimi 0 kabul ettiğimizde fibonacci dizisi içerisindeki 100. terim 354224848179261915075 olmaktadır.

Fibonacci dizisi C programlama dili dahil olmak üzere birçok bilgisayar programı dilinde de kullanılmaktadır. Ayrıca algoritması sonucu çıkan "altın oran" da finans sektörü olmak üzere çeşitli alanlarda yine yol gösterici olmaktadır.

Fibonacci Dizisinin Mantığı

Basit mantıkla ilk terime F₀ = 0 ve F₁ = 1 dediğimizde bundan sonraki her terim bir önceki 2 terimin toplamı olacaktır. Yani F₂ = F₁ + F₀ olacaktır. Aynı şekilde F₃ = F₂ + F₁ eşitliği bulunmaktadır. Bu durum sonsuza kadar böyle devam eder.

0, 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21 şeklinde dizi devam etmektedir. Bu şekilde basit bir mantıkla dizisinin elemanları bulunabilmektedir.

Ancak Fibonacci dizisi yukarıda belirttiğimiz gibi özel bir seridir. İçerisinde altın oranı barındırmaktadır. Bu nedenle genel bir formüle ihtiyacımız bulunmaktadır.

Fibonacci Dizisi Formülü

Dizi içerisindeki bir sayıyı bulurken her seferinde bir önceki 2 terimi toplamak sıkıntı oluşturacaktır. Çünkü bu durumda bütün terimleri bulmak gerekecektir. Bu döngüden kurtulmak için seriyi elde etmemize yarayan genel formülü kullanmaktayız.

Yukarıda Fibonacci dizisi formülü ve algoritması açık bir şekilde gösterilmiştir. Formülü kullanarak denemek istediğiniz n. terimi diğer terimlere bakmadan hesaplayabilirsiniz.

Bu formülün çıkış noktası üzerinde fazla durmayacağız. Formülü elle hesaplamak zor olabilir ancak dizideki herhangi bir terimi bulmak adına bilgisayar programları kullanılabilir.

Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

Altın oranı hepimiz duymuşuzdur. Doğada birçok güzellik bu altın oranı taşır. Hatta bir şeylerin ideal olup olmadığı dahi altın orana göre belirlenebilir. İngilizce "golden ratio" denilen bu oran 1.61803... şeklinde devam eden bir orandır.

Peki Fibonacci dizisiyle altın oran arasında ne ilişki var diyeceksiniz. Fibonacci dizisi içerisinde altın oranı bulundurmaktadır.

Dizinin her terimini bir önceki terimine bölersek giderek altın orana yaklaşırız:

F₃ / F₂ = 1/1 = 1
F₄ / F₃ = 2/1 = 2
F₅ / F₄ = 3/2 = 1,5
F₆ / F₅ = 5/3 = 1.666
F₇ / F₆ = 8/5 = 1,6
F₈ / F₇ = 13/8 = 1.625
F₉ / F₈ = 21/13 = 1,615
F₁₀ / F₉ = 34/21 = 1,619
....
F₂₀ / F₁₉ = 4181/2584 = 1,61803

Altın orana doğanın çeşitli yerlerinde rastlamak mümkündür. Örneğin çiçeklerdeki yaprak sayısını incelediğimiz zaman genellikle Fibonacci serisindeki sayılar kadar yaprak içerdiklerini görürüz. Yani yaprak sayıları 2, 3, 5, 8, ya da 13 şeklinde olmaktadır.

Altın Oran Formülü

Altın oran matematikte φ sembolüyle gösterilmektedir. Buna göre φ = 1,61803.. eşitliği ifade edilebilir. Altın oran içerisinde kendini saklamaktadır. Yani φ = 1 + 1/φ eşitliği kurulabilir. Buna göre 1,61803 = 1 + 1/1,61803 eşitliği bulunmaktadır.

Altın oran ile Fibonacci dizisi eşleşiyorsa öyleyse altın oran üzerinden bir Fibonacci formülü üretmek de mümkün olmalıdır.

F_n = [φⁿ - (1 - φ)ⁿ]/(√5) formülü genel formülümüz olacaktır. Bu formül ile de Fibonacci serisine ait terimleri bulmak mümkündür.

Pascal Üçgeninde Fibonacci Dizisi

Pascal üçgeni matematikte binom açılımı başta olmak üzere birçok uygulama alanı vardır. Pascal üçgenini oluştururken de sayıları toplayarak alta yazmaktayız. Öyleyse bu üçgen içerisinde de Fibonacci dizisi bulunacaktır.

Üçgen içerisinde doğrusal olacak şekilde oklar çizdiğimiz zaman sayıların toplamı Fibonacci sayılarını vermektedir.

Tabi burada dizinin ilk sayısı olan 0 sayısı çıkmayacaktır. Bazı hesaplamaları yaparken diziyi 0'dan değil de 1'den başlatmak gerekmektedir.

Etiketler:

matematik

Yorumlar

Yorum Yap