Bölünebilme Kuralları

22.01.2020 - 17:20

Matematiğin en önemli konularından biri bölünebilme kurallarıdır. Bölünebilme kuralları sadece bir konu olarak karşımıza çıkmaz. Ayrıca diğer konularda da çeşitli vesilelerle bu konuyla karşılaşmaktayız. Temel matematiğimizin gelişmesini istiyorsak bu kuralları kesinlikle iyi bilmemiz gerekiyor. Daha önce çeşitli vesilelerle bu kuralları parça parça verdik. Şimdi toplu olarak bölünebilme kuralları üzerinde duracağız.

Bir sayıyın bir sayıya bölünebilmesi derken tam bölünmesi (kalansız) kast edilmektedir. Buna dikkat etmek gerekir. Bütün tam sayılar 1'e kalansız bölündüğü için 1 ile bölünebilme kuralına gerek yoktur.

Bölünebilme kuralları kapsamında aşağıdakileri göreceğiz:

  • 2 ile bölünebilme
  • 3 ile bölünebilme
  • 4 ile bölünebilme
  • 5 ile bölünebilme
  • 6 ile bölünebilme
  • 7 ile bölünebilme
  • 8 ile bölünebilme
  • 9 ile bölünebilme
  • 10 ile bölünebilme
  • 11 ile bölünebilme
Bölünebilme kuralları

Sırasıyla Bölünebilme Kuralları

Şimdi sırasıyla bu kuralları görelim.

2 ile Bölünebilme

Bütün çift sayılar 2'nin tam katıdır. Bu nedenle çift sayıların tamamı 2 ile tam bölünür. Bir sayının çift olması için de son rakamının çift olması yeterlidir.

Bu nedenle sonu 0, 2, 4, 6, ve 8 ile biten sayılar 2'ye bölünür. Buna karşın sonu 1, 3, 5, 7 ve 9 ile biten sayılar ise 2'ye tam bölünmeyecektir. Burada tek belirleyici olan en sağda yer alan rakamdır. Bu rakam birler basamağında yer alır.

Örneğin 2141553463462341412 sayısı 2'ye tam bölünür. Bunun için işlemi yapmaya gerek yoktur. Son rakam çift olduğu için bu yeterlidir. Aynı şekilde 563480419240041 sayısı ise 2'ye bölünmez. Çünkü sonda yer alan 1 tek sayıdır. Bu da bütün sayıyı tek sayı yapar.

Bir tam sayı ya 2'ye tam bölünüyordur ya da 2'den bölümünden kalan 1'dir.


Üç basamaklı 28A sayısının 2'ye tam bölündüğü bilinmektedir. Buna göre A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm: A sayısının çift olması yeterlidir. Öyleyse 0, 2, 4, 6, 8 olabilir. Bunları toplarsak da 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20 elde edilir.


3 ile Bölünebilme

3 ile bölünebilme kuralı matematiğin birçok konusunda karşımıza çıktığı için çok önemlidir. Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.

Örneğin 123 sayısı 3'e tam bölünür. Çünkü rakamları toplarsak 1 + 2 + 3 = 6 elde edilir ve 6'da 3'ün katıdır.

3 ile bölünebilmede rakamların toplamına bakmak yeterlidir. Sayıyı bölerek test etmemize gerek yoktur. Aynısını 9 ile bölünebilmede de göreceğiz.


Beş basamaklı 837C2 sayısının 3'ün tam katı olduğu bilinmektedir. Buna göre C'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözüm: Rakamları toplayalım. 8 + 3 + 7 + C + 2 = 20 + C bulunur. 20'den büyük 3'ün katlarına baktığımız zaman 21, 24, 27, 30 olduğunu görmekteyiz. Öyleyse C'nin değeriyle rakamlar toplamının bu değerlere gelmesi gerekir. Bunun için C = 1, 4, 7 ve 10 olabilir ancak 10 olması için 2 basamak gerekir. Öyleyse C 1, 4 ve 7 olabilir. Bunları çarptığımızda 1.4.7 = 28 elde edilir.


4 ile Bölünebilme

2 ile bölünebilmede nasıl son rakama baktıysak 4 ile bölünmede ise son 2 rakama bakarız. Sondaki 2 basamaklı sayı 4'ün katıysa sayı 4'te tam bölünebilir demektir. Çünkü son iki basamak onlar ve birler basamağıdır. Üçüncü basamak yüzler basamağı olduğu için ve 100 de 4'ün katı olduğu için hangi değeri alırsa alsın sayının tam bölünmesine engel olmayacaktır.

634623514 sayısı 4'te tam bölünmez. Çünkü sonraki 14 4'ün katı değildir. Buna karşın 9285764 sayısı 4'ün katıdır ve 4'te tam bölünür. Çünkü sondaki 64 sayısı 4'ün tam katıdır.


Aşağıdaki sayılardan hangisi 4'te tam bölünür?

A) 1874

B) 2987

C) 2122

D) 3132

E) 4142

Çözüm: Son iki basamağa basarız. 74, 87, 22 ve 42 4'ün tam katı değildir. Ancak 32 4'ü tam katıdır. Bu nedenle 3132 sayısı 4'e tam bölünür. Cevap D seçeneğidir.


5 ile Bölünebilme

5 ile bölünebilme kuralı oldukça basit ve zevkli bir kuraldır. Bu kuralda da sadece son basamağa bakarız. Son basamaktaki rakam 0 veya 5 ise bu sayı 5'e tam bölünür. Diğer durumlarda ise bölünmez.

5'in katlarına baktığımız zaman 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 gibi sayıların son basamakları sırasıyla 0 ve 5 olarak değişmektedir. Öyleyse bütün sayılarda bu durum böyledir.

1241245145 sayısı 5'e tam bölünür. Çünkü son rakam 5'tir. Yine 8740240 sayısı da 5'e tam bölünür çünkü son rakam 0'dır.


Dört basamaklı 46b5 sayısı 5'e tam bölünmektedir. Buna göre b sayısının alabileceği kaç değer vardır?

Çözüm: Son rakam 5 olduğuna göre bu sayı b ne olursa olsun her türlü 5'e bölünecektir. Öyleyse b bütün rakamlar olabilir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere toplamda b'nin alabileceği 10 değer vardır.


6 ile Bölünebilme Kuralı

6 asal bir sayı değildir. Bu nedenle aslında 6'ya bölünmeye özgü bir kural yoktur. 6'yı çarpanlara ayırdığımızda 2 ve 3'ü elde ederiz. Bu sayılar da aralarına asal olduğuna göre hem 2'ye hem de 3'e bölünebilen sayılar 6'ya tam tam bölünür demektir. 6 ile bölünebilme kuralı yazısında buna değinmiştik.

Bir sayının aralarında asal olan çarpanlarına tam bölünebilen sayılar aynı zamanda sayıya da tam bölünebilir demektir. Bu şekilde çok farklı sayılar için bölünebilme kuralı elde edilebilir.

3126 sayısının son rakamı çift olduğuna göre bu sayı 2'ye tam bölünür. Aynı zamanda rakamlar toplamı 3 + 1 + 2 + 6 = 12 de 3'ün katı olduğu için 3'e de tam bölünür. Hem 2 hem de 3'e bölünebildiğine göre bu sayı 6'ya da tam bölünebilir.


5422a sayısı beş basamaklı bir sayıdır ve 6'ya tam bölünebilmektedir. Buna göre a'nın alabileceği değerler nelerdir?

Çözüm: 3 ile bölünebiliyor mu kontrol edelim. 5 + 4 + 2 + 2 + a = 13 + a bulunur. 3 ile bölünebilmesi için a'nın 2, 5 veya 8 olması gerekir. Bu değerlerden 2 ve 8 çift olduğu için sayı aynı zamanda 2'ye tam bölünecektir. Ancak 5 olduğunda 3'e tam bölünebilecek fakat 2'ye tam bölünmeyecektir. Bu nedenle sayının 6 ile tam bölünebilmesi için a 2 veya 8 olmalıdır.


7 ile Bölünebilme

7 ile bölünebilme kuralları desek daha doğru olur. Çünkü birden fazla kural bulunmaktadır. Biraz karışık olan bu kurallarla ilgili 7 ile bölünebilme kuralı adlı yazımızda epey detay verdik. İsterseniz buradan faydalanabilirsiniz.

Kuralı yine de basitçe anlatalım. Bir sayının 7 ile bölünüp bölünmediğini anlamak isterseniz 1 3 2 yöntemini uygulamalısınız. Sayının sağından soluna doğru kaç basamak varsa sırasıyla altlarına 1 3 2 yazın. Ardından alta yazdığınız sayıyla bu sayıları çarpın. İlk 3 gurup + ve sonraki - olacak şekilde çıkan sayıları işleme sokun. Sonuç 7'nin katıysa sayı da 7'nin katıdır demektir.

Örnek yapmadan kuralın anlaşılması zordur. 405 sayısına bakalım. 1 3 2 yazarsak 5x1 + 0x3 + 4X2 = 13 bulunur. Bu da 7'nin katı olmadığı için sayı 7'nin katı değildir. 105 sayısına baktığımızda ise 5x1 + 0x2 + 1x2 = 7 bulunduğundan bu sayı 7'nin katı olur.


123456 sayının 7'nin katı olup olmadığını bulunuz.

6x1 + 5x3 + 4x2 - 3x1 - 2x3 - 1x2 = 6 + 15 + 8 - 3 - 6 - 2 = 18 bulunur. 18 7'nin katı olmadığı için bu sayı da 7'nin katı değildir.


8 ile Bölünebilme Kuralı

21 = 2, 22 = 4 ve 23 = 8 eşitliği bulunmaktadır. 2 ile bölünebilmede son basamağa, 4 ile bölünebilmede son iki basamağa baktık. Aynı mantıkla 8 ile bölünebilmede son 3 basamağa ve 16 ile bölünebilmede son 4 basamağa bakarız.

Bir sayının son 3 basamağında yer alan sayı 8'in katıysa o sayı 8'in tam katıdır ve 8'e kalansız bölünür.

8247120 sayısı 8'e tam bölünür. Çünkü 120 sayısı 8'e tam bölünebilmektedir.


Altı basamaklı 1286a2 sayısı 8 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözüm: Son 3 basamağa bakalım. 6a2 sayısının 8'in katı olması gerekir. 600 sayısı 8'in katı olduğuna göre sırasıyla 608, 616, 624, 632, 640, 648, 656, 664, 672, 680, 688, 696 sayıları 8'in katıdır. Sonu 2 olan ise sadece 632 ve 672 bulunmaktadır. Dolayısıyla a sayısı 3 veya 7 olabilir. 3 + 7 = 10 bulunur.


9 ile Bölünebilme

9 ile bölünebilme kuralı da 3 ile bölünebilme kuralı gibidir. Sayının rakamlarını toplarız. 9'un katıysa bu sayı 9'a tam bölünebiliyor demektir.

9'un katlarına baktığımız zaman 9, 18, 27, 36, 45, 54 gibi sayıların tamamının rakamlar toplamı 9'un katı etmektedir. Bu kural büyük küçük bütün tam sayılar için geçerlidir.

1980 sayısı 9'un tam katıdır. Çünkü 1 + 9 + 8 + 0 = 18 yapar ki 18 de 9'un katıdır.


12x6 dört basamaklı sayısı 9'ile tam bölünebilmektedir. Buna göre x hangi değerleri alabilir?

Çözüm: 1 + 2 + x + 6 = 9 + x bulunur. 9 zaten 9'un katı olduğuna göre x = 0 ve x = 9 olabilir.


10 ile Bölünebilme

10 ile bölünebilme kuralı en basit olanıdır. Bu kuralı anlamak için 10'un katlarına bakmamız yeterlidir. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 sayılarının tamamının birler basamağının 0 olduğunu görmekteyiz. Öyleyse 10 ile bölünebilme kuralı son basamakla ilgilidir. Son basamağın 0 olması bu iş için yeterli olacaktır.

Aslına bakarsanız 10 bir asal sayı olmadığı için genelde yaptığımız gibi aralarında asal çarpanlarına bakarız. Bu da 5 ve 2'dir. 10 ile bölünebilme kuralı esasen 5 ve 2'ye birden bölünebilme şeklindedir.

Ancak 5 ile bölünebilme için son rakamın 0 ve 5 olması gerektiğini zaten söylemiştik. 2 ile bölünebilme için ise son rakamın çift olması gerekir. 5 çift olmadığına göre 0 her iki şartı da sağlayacaktır.


1457a5 sayısının 10 ile bölünebilmesi için a kaç olabilir?

Çözüm: Son basamak 0 olmadığı için hiçbir şekilde bu sayı 10'un tam katı olamaz. Yani a'nın alacağı değerin bununla bir ilgisi olmayacaktır.


11 ile Bölünebilme

Yine çok karşımıza çıkan ancak az bilinen bir kuraldır. 11 ile bölünebilme aslında oldukça basit bir kurala sahiptir.

Sayının sağından başlayarak sırasıyla + ve - şeklinde işaret veririz. Sonra bütün sayıları bu işaretlere göre toplar ve çıkarırız. Çıkan sonuç 0 ya da 11'in katıysa bu sayı 11'in katıdır. Değilse 11'in katı değildir.

22, 33, 44 gibi sayılarda + ve - yazdığımızda bu sayıların birbirinin götürdüğünü görüyoruz. Öyleyse bu sayılar 11'in katıdır. 132 sayısına sağdan başlayarak + ve - yazarsak +2, -3 + 1 olur. İşlemin sonucu 0 ettiğine göre sayı 11 ile bölünebilir.


Dört basamaklı 13y4 sayısı 11'in katıdır. Buna göre y kaçtır?

Çözüm: Kuralı uygulayıp sağdan + işareti vermeye başlayalım. +4 -y + 3 -1 = 6 - y bulunur. Burada y = 6 olursa sonuç 0 olur ve şart sağlanır. Öyleyse y = 6 olur.


Diğer Bölünebilme Kuralları

Bir sayının aralarında asal iki çarpanı varsa bunlar aracılığıyla bölünme kuralı elde edilebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus bu iki çarpanın ortak böleni olmaması yani aralarında asal olmasıdır. Örneğin 36 için bölünebilme kuralı çıkardığımızda 12 ve 3'ü seçemeyiz. Çünkü bunlar aralarında asal değildir. Ancak 9 ve 4 seçilebilir.

  • 6 ile bölünebilme kuralı: 3 ve 2 ile bölünürse 6'ya tam bölünür.
  • 10 ile bölünebilme kuralı: 5 ve 2 ile tam bölünürse 10'a tam bölünür.
  • 12 ile bölünebilme kuralı: 4 ve 4 ile tam bölünürse 12'ye tam bölünür.
  • 14 ile bölünebilme kuralı: 7 ve 2 ile tam bölünürse 14'e tam bölünür.
  • 18 ile bölünebilme kuralı: 9 ve 2 ile tam bölünürse 18'e tam bölünür.
  • 20 ile bölünebilme kuralı: 5 ve 4 ile tam bölünürse 20'ye tam bölünür.
  • 22 ile bölünebilme kuralı: 11 ve 2 ile tam bölünürse 22'ye tam bölünür.
  • 30 ile bölünebilme kuralı: 10 ve 3 ile tam bölünürse 30'a tam bölünür.
  • 36 ile bölünebilme kuralı: 9 ve 4 ile tam bölünürse 36'ya tam bölünür.
  • 48 ile bölünebilme kuralı: 16 ve 3 ile tam bölünürse 48'e tam bölünür.

Bu şekilde örnekleri çoğaltabiliriz. Konunun mantığını iyi öğrenirseniz kendiniz de bölünebilme kuralı üretebilirsiniz.


Etiketler:
  • matematik    
  • Yorumlar
    Yorum Yap
    mersin escortgaziantep escortescort gazianteppornoizleporno izlekonulu porno izleporno