Mutlak Değer

Mutlak değer tanım olarak bir sayının sayı doğrusunda 0 noktasına olan uzaklığıdır. Mutlak değeri anladığımız zaman matematikte uzaklık kavramını da anlamış oluruz. Bir ifadenin mutlak değeri o ifadenin uzaklığı anlamına gelmektedir. Örneğin, |x - y| demek x ve y sayılarının farkının orjine uzaklığı demektir.

Sayı doğrusunda 0 ile 4 noktalarının arası 4 birimdir. Aynı şekilde 0 ile -4 noktalarının arası da 4 birimdir. Öyleyse |-4| = |4| diyebiliriz.

Bu yüzden mutlak değerin içi negatif olsa da uzaklık değerleri negatif olamayacağı için dışarıya pozitif olarak çıkar.

Bu durumu şöyle kurallaştırabiliriz. Eğer mutlak değerinin içi pozitifse dışarı aynen çıkar. Eğer mutlak değerin içi negatif ise dışarı işaret değiştirerek çıkar. Bu durumu bir örnekle açıklayalım. 

Örnek: x < 0 < y olmak üzere |x - y| + |y - x| ifadesini bulunuz. 

Çözüm: Mutlak değer 0 (orjin) noktasına uzaklık demekse ve her zaman pozitif olarak dışarı çıkıyorsa o zaman ilk olarak mutlak değerin içinin işaretini bulmamız gerekir.

x - y ifadesinde x negatif y de pozitif olduğuna göre negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonucun yine negatif bir sayı olduğunu biliyoruz. Öyleyse x - y ifadesi negatif bir değere sahiptir ve dışarı işaret değiştirerek çıkar. Yani -(x - y) olur. O da y - x değerine eşittir. 

Bulduğumuz ilk sonuç |x - y| = y - x şeklindedir.

 y - x ifadesini incelersek pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonucun pozitif olacağını kolaylıkla fark edebiliriz. Pozitif değerli ifadeler de mutlak değerin dışına aynen çıkar. 

Öyleyse bulduğumuz ikinci sonuç |y - x| = y - x olur. 

Bu iki sonucu birleştirirsek (y - x) + (y - x) = 2(y - x) olur. Bu da 2y - 2x ifadesine eşittir.

Mutlak Değerin Özellikleri

1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. -|x| ≤ x ≤ |x|
4. |x.y| = |x|.|y|

Bu dört özelliği kullanıp yeni özellikler türetebiliriz. En genel olarak bu dört özelliği bilmemiz diğer özellikleri elde etmemiz için yeterli olacaktır.

|x - a| = b ifadesi x'in b'den a birim kadar uzakta olduğunu ifade eder. Bu uzaklığın pozitif yönde veya negatif yönde olması önemli değildir. 

Örnek: A = |x - 3| + |x + 2| ifadesinin en küçük değeri nedir?

Çözüm: Soruda A'nın en küçük değeri isteniyor. Öyleyse x'in -2 ve 3 aralığında bir değer alması gerekmektedir. Çünkü bu aralağın dışına çıkarsa x uzaklık değerlerinin toplamı daha büyük olacaktır. x'e değer verirken de -2 ≤ x ≤ 3 şeklindeki değer aralığından bir değer seçilir. Mesela 0 değerini alırsak 3 +2 = 5 olur. Aynı şekilde 1 alırsak 2 + 3 = 5 olur. Demek ki sayı doğrusunda bu aralıkta bulunan bütün sayılar A'nın en küçük değerini elde etmemizi sağlıyor.

Yani en küçük değer 5 olur.