Modüller Aritmatik

a, b, m Î Z ve m ≥ 2 olmak üzere,

a - b sayısı m ile tam bölünebiliyorsa

a ≡ b (mod m)

denir. Yani a ve b sayıları m modülüne göre birbirine denktir. Ayrıca b nin en küçük doğal sayı değerler iiçin bu ifade, x sayısının m ile bölümünden kalan y dir şeklinde düşünülebilir.

Modüller Aritmetiğin Özellikleri

x, y, k, l, a, n, m Î Z ve m ≥ 2 olmak üzere,

1. x ≡ y (mod m) ve z ≡ y (mod m) ise x ≡ z (mod m) dir.
2. x ≡ y (mod m) ise x - y = 0 (mod m) dir.
3. x ≡ x + m ≡ x + 2m ≡ x + 3m ≡ ... (mod m).  y ≡ y + m ≡ y + 2m ≡ y + 3m ≡ ... (mod m). Yani ; x = x + k.m (mod m)
4. x ≡ y (mod m) ve k ≡ l (mod m) ise x ± k ≡ y ± k (mod m), x.a ≡ y.a (mod m), x^a ≡ y^a (mod m) dir.

Örnek:

3¹²¹ ≡ x (mod 5)

olduğuna göre, en küçük x doğal sayısını bulalım.

Çözüm:

3¹²¹ ≡ x (mod 5)

3¹ ≡ 3 (mod 5) 

3² ≡ 4 (mod 5) 

3⁴ ≡ 1 (mod 5)

olduğuna göre,

3¹²¹ ≡ (3⁴)³⁰.3¹ (mod 5)

3¹²¹ ≡ 1³⁰.3¹ (mod 5)

3¹²¹ ≡ 3 (mod 5)