Matematik

Köklü İfadeler

n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xⁿ = a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir.

a nın n. dereceden kökü ⁿ√2 şeklinde gösterilir.

²√a = √a ; karekök a

³√a = ; küpkök a

⁴√a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde dir.

ⁿ√a ifadesinnin bir reel sayı olabilmesi için a ≥ 0 ya da n tek sayı olmalıdır. Yani n pozitif çift tam sayı ve a negatif reel sayı ise ⁿ√a ifadesi reel sayı değildir.

Örnek:

⁴√8 - x ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için, x in hangi şartı sağlaması gerekir?

Çözüm:

⁴√8 - x Î IR ⇒ 8 - x ≥ 0

8 ≥ x

x ≤ 8 dir.

Köklü İfadenin Üslü Biçimde Yazılması

^m√aⁿ= a^m/n dir.

Örnek:

³√5 ² = 5^2/3
√8 = ²√2³ = 2^3/2
⁵√-27 = ⁵√-3³= -3^3/5

a ≥ 0 ve m tek sayı ise ^m√a^m = a dır.

Örnek:

³√27³ = ³√3³= 3
³√-8 = ³√-2³= -2
⁵√1 = 1 dir.

a ≥ 0 ve m çift sayı ise ^m√a^m = |a| dir.

⁴√(-5)⁴ = |-5| = 5
²√(-2)⁶ = |-2| = 2
√(-1)² = |-1| = 1 dir.

Rasyonel Üssün Genişletilmesi ya da Sadeleştirilmesi

k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere, ^m√aⁿ= ^m.k√a^n.k dir.

√5 = ⁴√5²
³√3² = ⁶√3⁴
⁸√64= ⁸√2⁶= ⁴√2³dür.

Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma

t > 0 olmak üzere t. ^m√a = ^m√a.t^mdir.

2√5 = √5.2²= √20
2.³√5 = ³√5.8 = ³√40
-3.√6 = -√54 ≠ √-54
√32 = √2.4²= 4.√2

√18 = √2.3² = 3√2 dir.

Köklü Sayılarda İşlemlemler

1. Toplama, Çıkarma

Köklerin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya da çıkarılırken ; katsayılar toplanır yada çıkarılır, sonuç köklü ifadeye katsayı olarak yazılır.

a.^m√x + b.^m√x - c.^m√x = (a + b - c)^m√x dir.

Örnek:

4√2 - √2 = 3√2
2√3 + 3√3 = 5√3
√27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3 dür.

2. Çarpma, Bölme

^m√x . ^m√y = ^m√x.y

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde çarpılır. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

y ≠ 0 ise,

^m√x / ^m√y = ^m√x/y dir.

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde bölünür. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

Örnek:

√3 .√2 = √6
³√2 .³√18 = ³√36
³√5 .√3 = ⁶√5². ⁶√3 ³ = ⁶√25.27 = ⁶√675
√8 / √4 = √8 / 4 = √2

Köklü Sayılarda Sıralama

a < b ise ⁿ√a < ⁿ√b dir.

Kökdereceleri aynı ise kökiçi büyük olan daha büyüktür. Kök dereceleri farklı ise önce kök dereceleri eşitlenir, sonra işlem yapılır. Kök dereceleri büyüdükçe sayı küçülür.

Örnek: