İşlem
A boş olmayan bir küme ve A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde bir ikili işlem ya da işlem denir. İşlem +, -, ., :, ο, Δ, Ä,¤,Å, ... gibi sembollerle gösterilir.
Örnek:
Tam sayılar kümesinde
x ο y = 2x + 5y biçiminde ο işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 5 ο (-1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
x ο y = 2x + 5y
5 ο (-1) = 2.5 + 5.(-1)
= 10 - 5
= 5 olur.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde,
a ¤ b = 2a - b işlemi tanımlanmıştır.
k ¤ 7 = 5 ¤ 13 olduğuna göre, k kaçtır ?
Çözüm:
a ¤ b = 2a - b
k ¤ 7 = 5 ¤ 13
2k - 7 = 2.5 -13
2k = 4
k = 2 dir.
Örnek:
Reel sayılarda Δ işlemi,
a Δ b = √a²+b² olduğuna göre, (3 Δ 4) Δ 12 değerini bulalım.
Çözüm:
a Δ b = √a²+b² olduğuna göre,
a = 3 ve b = 4 için, 3 Δ 4 = √3²+4² = √25 = 5 tir ...(1)
a = 5 ve b = 12 için, 5 Δ 12 = √5²+12² = √169 = 13 tür. ...(2)
Buna göre, (1) ve (2) den
(3 Δ 4) Δ 125 Δ 12 = 13 tür.
Örnek:
| Δ | S | E | Ç | İ | M |
| S | E | Ç | İ | M | S |
| E | Ç | İ | M | S | E |
| Ç | İ | M | S | E | Ç |
| İ | M | S | E | Ç | İ |
| M | S | E | Ç | İ | M |
A = {S, E, Ç, İ, M} kümesi üzerinde Δ işlemi yukardaki tabloya göre tanımlanıyor. Buna göre, S Δ (Ç Δ M) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
| Δ | S | E | Ç | İ | M |
| S | E | Ç | İ | M | S |
| E | Ç | İ | M | S | E |
| Ç | İ | M | S | E | Ç |
| İ | M | S | E | Ç | İ |
| M | S | E | Ç | İ | M |
S Δ (Ç Δ M) = S Δ (Ç) = İ bulunur.
İşlemin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği
A boş olmayan küme bir küme ve Δ, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A ise, A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir.
Örnek:
a) N (Doğal Sayılar Kümesi), + işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.
b) IR (Reel Sayılar kümesi), x işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki reel sayının toplamı yine bir reel sayıdır.
Örnek:
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 |
A = {1, 2, 3} kümesinin, yukardaki tabloda tanımlanan Å işlemine göre, kapalı olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
1 Å 2 = 3, 3 Å 1 = 1
Görüldüğü gibi, A kümesinden alınan herhangi iki elemanın Å işlemine göre sonucu yine A nın elemanıdır. Bunun için A kümesi Å işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve Ä, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A için, a Ä b = b Ä a ise Ä işleminin değişme özelliği vardır denir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
2 + 3 ?=? 3 + 2
5 = 5
Görüldüğü gibi, iki reel sayının toplamında, sayıların yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmemektedir. Bunun için, reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan
x Ä y = x + y -2xy
işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
3 Ä 4 ?=? 4 Ä 3
3 + 4 - 2.3.4 ?=? 4 + 3 - 2.4.3
7 - 24 ?=? 7 - 24
-17 = -17 dir
Görüldüğü gibi Ä işleminin değişme özelliği vardır.
Çarpma ve toplama işlemlerinde değişme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
3. Birleşme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve v, A da tanımlı bir işlem olsun.
∀ a, b, c Î A için,
a v (b v c) = (a v b) v c) ise v işleminin birleşme özelliği vardır denir.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan a l b = a + b - 3 işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
2 l (3 l 5) ?=? (2 l 3) l 5
2 l (3 + 5 -3 ) ?=? (2 + 3 - 3) l 5
2 l 5 = 2 l 5 dir.
Buna göre, l işleminin birleşme özelliği vardır.
Çarpma ve toplama işlemlerinde birleşme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
4. Birim (Etkisiz) Eleman
A boş olmayan bir küme ve q, A da tanımlı bir işlem olsun.∀ a, b, c Î A için,
a q e = e q a = a ise e ye q işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.
e Î A ise A kümesi q işlemine göre birim (etkisiz) eleman özelliğine sahiptir, denir.
Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz (birim) elemanı yoktur.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde
a) Çarpma
b) Toplama
işlemlerinin etkisiz (birim) elemanlarını bulalım.
Çözüm:
a) 1.2 = 2.1 = 2
1.5 = 5.1 = 5
Görüldüğü gibi, 1 ile hangi reel sayıyı çarparsak çarpalım sonuç daima çarptığımız reel sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,
x.1 = 1.x = x dir.
Yani çarpma (.) işleminin birim elemanı 1 dir.
b) 0 + 4 = 4 + 0 = 4
0 + 9 = 9 + 0 = 9
Görüldüğü gibi, 0 hangi sayıyla toplanırsa toplsan sonuç daima topladığımız sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,
0 + x = x + 0 = x dir.
Yani, toplama (+) işleminin birim elemanı 0 dır.
Örnek:
R de tanımlanan
x t y = x + y + 2 işleminin etkisiz (birim) elemanını bulalım.
Çözüm:
t işleminin değişme özelliği olduğu için, x t e = x eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.
x t e = x
x + e + 2 = x
e + 2 = 0
e = -2 dir.
t işleminin birim (etkisiz) elemanı -2 dir.
Örnek:
R = {N, A, Z, İ, K} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloyla tanımlanan v işleminin etkisiz elemanını bulalım.
| v | N | A | Z | İ | K |
| N | K | N | A | Z | İ |
| A | N | A | Z | İ | K |
| Z | A | Z | İ | K | N |
| İ | Z | İ | K | N | A |
| M | İ | K | N | A | Z |
Çözüm:
Tablodan da görüleceği gibi,
N v A = A v N = N
Z v A = Z v A = Z
İ v A = A v İ = İ
K v A = A v K = K
A v A = A olduğundan v işleminin birim (etkisiz) elemanı A dır.
* Etkisiz eleman, tabloda başlangıç satırının görüldüğü satırla, başlangıç sütunun görüldüğü sütunun kesşimindeki elemandır.
5. Ters Eleman
A boş olmayan bir küme ve u, A da tanımlı bir işlem olsun. e, u işleminin birim elemanı olsun.
x Î A için, x u y = y u x = e şartımı sağlayan y ye u işlemine göre, x in tersi denir ve x-1 = y şeklinde gösterilir.
y Î A ise A kümesi u işlemine göre ters eleman özelliğine sahiptir, denir.
- Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.
- Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.
- Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.
- Birim elemanın tersi kendisidir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan
x u y = x + y - 6
işlemine göre 3 ün tersini bulalım.
Çözüm:
Önce birim eleman bulunmalıdır. O halde,
x u e = x den
x + e - 6 = x
e - 6 = 0
e = 6 bulunur.
3 ün u işlemine göre tersi a olsun. O halde, 3 u a = 6 olmalıdır.
3 + a - 6 = 6
a - 3 = 6
a = 9 dur.
Buna göre, 3 ün u işlemine göre tersi 9 dur. Bu, 3-1 = 9 şeklinde gösterilir.
Örnek:
| ı | S | A | D | E |
| S | D | E | S | A |
| A | E | S | A | D |
| D | S | A | D | E |
| E | A | D | E | S |
M = {S, A, D, E} kümesinde tanımlanan ı işlemine göre ,
a) S nin tersini
b) S ı E-1 i
c) S ı (D ı E)-1 i bulalım.
Çözüm:
| ı | S | A | D | E |
| S | D | E | S | A |
| A | E | S | A | D |
| D | S | A | D | E |
| E | A | D | E | S |
ı işleminin birim elemanı D dir. O halde,
a) S ı S-1 = D ğ S-1 = S dir.
b) E ı E-1 = D ğ E-1 = A dır. O halde,
S ı E-1= S ı A = E dir.
c) S ı (D ı E)-1 = S ı (E)-1
= S ı A (E-1 = A idi.)
= E bulunur.
6. Yutan Eleman
A boş olmayan farklı bir küme ve n, A da tanımlı bir işlem olsun.
∀ x Î A için x n y = y n x = y ise y Î A ya n işleminin yutan elemanı denir.
Örnek:
R de tanımlanan,
x p y = 3x + yy - xy
işleminin yutan elemanını bulalım.
Çözüm:
Yutan eleman y olsun. p işlemi değişmeli olduğundan ∀ x Î IR için,
x p y = y olmalıdır.
x p y = y
3x + y - xy = y
x.(3 - y) = 0
y = 3 bulunur.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde (.) işlemine göre, yutan eleman 0 dır.
Çünkü, ∀ x Î IR için x.0 = 0.x = 0 dır.
Örnek:
A = {x, y, z, t} kümesi üzerinde n işlemi aşağıdaki tabloyla tanımlanıyor. n işlemine göre yutan elemanı bulalım.
| n | x | y | z | t |
| x | x | x | x | x |
| y | x | y | z | t |
| z | x | z | t | y |
| t | x | t | y | z |
Çözüm:
| n | x | y | z | t |
| x | x | x | x | x |
| y | x | y | z | t |
| z | x | z | t | y |
| t | x | t | y | z |
x n x = x
x n y = x
x n z = x
x n t = x olduğuna göre yutan eleman x tir.
x Î A olduğu için A kümesi n işlemine göre yutan eleman özelliğine sahiptir.
* Aynı elemanlardan oluşan satır ile aynı elemanlardan oluşan sütunun kesişimindeki eleman yutan elemandır.