Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı
Matematiğin en önemli konularından birisi çarpanlara ayırma konusudur. Bir konu olmanın ötesinde diğer konularda işlem yaparken de sürekli bu konuda öğrendiklerimize ihtiyaç duyarız. Aslında çarpanlara ayırma bir konudan çok bir matematik becerisidir. O yüzden bu konuyu çok iyi öğrenmek gerekir.
Aşağıda konuyu detaylı bir şekilde anlatmaya çalıştık. Anlatılanları dikkatli bir şekilde okumaya özen gösterin. Ardından da konuyla ilgili çok test çözmeye çalışın. Çünkü bu konuyu iyi bilmezsek diğer matematik konularında da zorlanırız.
Çarpan Kavramı
Sayıların çarpanları vardır. Her sayı çarpanlarıyla birlikte ifade edilebilir.
Yukarıdaki örnekte 6'nın çarpanlarını farklı şekilde görebiliyoruz. Nasıl ki tam sayıların çarpanı varsa denklemlerin de çarpanları vardır.
Çarpanlarına ayırma aslında bir sayının çarpanlarını bulmak demektir. Bir denklemin çarpanlarını bulalım.
Ortak Çarpan
Ortak çarpan kavramı bizim için çok önemlidir. Bir ifadede bulabildiğimiz ortak değere ortak çarpan denir. Örnek üzerinden basitleştirmeye çalışalım.
3x + 6 ifadesi için 3 ve 6 ifadelerinin ikisinin de 3'ün katı olduğu ortadadır. Öyleyse 3'ü ortak çarpan olarak alabiliriz.
Öyleyse 3x + 6 = 3(x + 2) şeklinde yazabiliriz.
Yukarıdaki örnekte ortak çarpan parantezine almayı görüyoruz. Bu bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için en çok başvurulan yöntemdir. Bu nedenle bol miktarda ortak çarpan parantezine alma örneği yapmamız gerekir.
Paranteze almanın zıttı ise paranteze dağıtmaktır. Örneğin 2(x + 4) ifadesi paranteze alınmıştır. Bunu dağıtırsak 2'yi + işaretinin her iki yanıyla ayrı ayrı çarpmamız gerekir. Yani 2(x + 4) = 2.x + 2.4 olur. Bu da 2x + 8 edecektir.
Ortak çarpan parantezine alma ve parantez içerisine dağıtma işlemlerini gördük. Bunları matematik hayatımız boyunca çok kullanacağız.
Bu konuyla ilgili bir örnek daha yapalım.
3y2 + 12y ifadesini ortak çarpan parantezine alalım. Ortak çarpanı 3 olarak aldığımızda 3y2 + 12y = 3(y2 + 4y) eşitliğini kurarız.
Ancak sizin de gördüğünüz gibi ifademiz yeterince basitleşmedi. Bu nedenle daha iyisini yapabiliriz. 3y2 ve 12y ifadelerinde ortak olan sadece 3 değil aynı zamanda da y bulunmaktadır.
Öyleyse ifadeyi 3 değil de 3y parantezine alalım. 3y2 + 12y = 3y(y + 4) bu ifade artık daha sade hale gelmiş oldu.
Şimdiye kadar basit örnekler yaptık. Matematikte her seferinde daha zor örneklerle karşılaşma ihtimali bulunmaktadır. Bu nedenle bol örnekle daha zor sorulara hazırlanmamız gerekir.
Önemli Özdeşlikler
Çarpanlara ayırma konusunda özdeşlikler işimizi çok kolaylaştıracaktır.
4x2 − 9 ifadesinde 2x'in ve 3'ün karesi alınmıştır. Öyleyse bu ifadeyi (2x)2 − (3)2 şeklinde yazabiliriz. Bu durumda elimizde iki ifadenin karelerinin farkı çıkar. Bunu da en basit ve temel özdeşlikle halledebiliriz.
(a + b)(a − b) = a2 − b2 özdeşliği iki kare farkı olarak bilinir ve matematikte çok kullanışlıdır. Yukarıdaki örneğe bu özdeşliği uygularsak (2x+3)(2x−3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9 eşitliğini elde ederiz.
Aşağıda en önemli özdeşlikler sıralanmıştır.
a2 − b2 = (a+b)(a−b)
a2 + 2ab + b2 = (a+b)(a+b)
a2 − 2ab + b2 = (a−b)(a−b)
a3 + b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3 − b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a−b)3
Bu özdeşliklerin sayısını arttırabiliriz. Ancak yukarıda listelenenler en çok kullanacaklarımızdır.
Çarpanlara Ayırma Soruları
Soru çözme bu konunun oturması için yapılacak en önemli iştir. Şimdi birkaç örnek soruyla konuya ısınmamızı sağlayalım.
A) 5(y2 + 3y)
B) y(5y + 15)
C) 5y(y + 3)
D) 10y2
E) y(y + 5)
Çözüm: İki ifadede ortak 5 ve y vardır. Öyleyse ifadeyi 5y parantezine ayırmalıyız. 5y(y + 3) en doğru paranteze alma şekli olduğu için cevap C seçeneğidir.
A) x(x4 - 81)
B) x(x2 + 9)(x2 - 9)
C) x(x + 3)3(x - 3)
D) x(x2 + 9)(x + 3)(x - 3)
E) 9x + 5x2
Çözüm: x5 ve 81x'in ortak çarpanı x'tir. Yani x5 - 81x = x(x4 - 81) eşitliğini kolayca kurabiliriz.
Ancak bu tamamen çarpanlarına ayrılmış hali değildir. Çünkü elimizde artık iki kare farkı vardır.
x4 - 81 = (x2 + 9)(x2 - 9) olur. Çünkü x2'nin karesi x4, 9'un da karesi 81'dir.
Ancak yine işimiz bitmiş değil. Çünkü x2 - 9 ifadesi de iki kare farkı demektir.
Bunu da açarsak x2 - 9 = (x + 3)(x - 3) olur. Böylelikle ifadenin tam çarpanlarına ayrılmış hali x5 - 81x = x(x2 + 9)(x + 3)(x - 3) olacaktır. Yani cevap D seçeneği olur.