Logaritma

Üstel Fonksiyon:

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f : R → R⁺

     x → f(x) = a^x

şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

y = ax fonksiyonunda a ya üstel fonksiyonun tabanı denir.

Logaritma Fonksiyonu:

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere, R den R⁺ ya tanımlanan f(x) = a^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna f^-1(x) = log_ax logaritma fonksiyonu denir.

f : R → R⁺

     x → f(x) = a^x

üstel fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu olarak tanımlanan logaritma fonksiyonu,

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f^-1 : R⁺ → R

          x → f^-1(x) = log_ax

şeklinde tanımlanır.

Buna göre, üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu arasında

y = log_ax ⇔ x = a^y

bağıntısı elde edilir.

y = log_ax fonksiyonunda yÎR sayısına xÎR⁺ sayısının a tabananına göre logaritması denir.

y = log_ax ifadesi "y eşit a tabanına göre logaritma x" diye okunur.

Örnek:

log₂32 = x

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log₂32 = x ise 2^x = 32

                            x = 5

Örnek:

log₄(x -3) = 2

olduğuna göre, x kaçtır?

Çözüm:

log₄(x -3) = 2 ise 4² = x - 3

                                 x = 19

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri:

1. y = log_ax fonksiyonunda a = 10 alınırsa logaritma fonksiyonuna bayağı logaritma fonksiyonu denir. y = log₁₀x = logx şeklinde yazılır.
2. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. y = log_ex = lnx şeklinde yazılır.
3. log_a1 = 0 (1 sayısının her tabandaki logaritması sıfırdır.)
4. log_aa = 1 (a Î R⁺ - {1} ise) (Tabanın logaritması daima 1 dir.)

Örnekler:

• log55 = 1
• log10 = 1
• lne = 1

5.  Pozitif iki gerçel sayının çarpımının a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabaındaki logaritmaları toplamına eşittir. log_a(x.y) = log_ax + log_ay

Örnek:

log₂₁3 + log₂₁7

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

log₂₁3 + log₂₁7 = log₂₁(3.7)

                             = log₂₁21

                             = 1

6.  Pozitif gerçel x sayısının n. kuvvetinin a tabanındaki logaritması x sayısının a tabanındaki logaritmasının n katına eşittir. log_axⁿ = n.log_ax , n Î R

Örnek:

log₃5 = a

olduğuna göre, log₃135 ifadesinin a cinsinden eşiti kaçtır?

Çözüm:

log₃135 = log₃(3³.5)

                = log₃3³ + log₃5

                = 3.log₃3 + log₃5

                = 3 + a

Örnek:

2.log5 + 3.log2

ifadesi kaça eşittir?

Çözüm:

2.log5 + 3.log2 = log5² + log2³

                            = log25 + log8

                            = log(25.8)

                             = log200

7.  Pozitif iki gerçel sayının bölümünün a tabanındaki logaritması, bu sayıların a tabanındaki logaritmaları farkına eşittir. log_a(x / y) = log_ax -log_ay

Örnek:

log50 - log5

ifadesinin sonucu kaçtır?

Çözüm:

 log50 - log5 = log (50 / 5)

                        = log10

                        = 1

Örnek:

log2 = x

olduğuna göre log 5 in x cinsinden değeri kaçtır?

Çözüm: 

log5 = log(10 / 2)

         = log10 - log2

         = 1 - x 

8.  Pozitif n gerçel sayısının a^x tabanındaki logaritması, n sayısının a tabanındaki logaritmasının 1 / x katına eşittir. log_a^xn =  (1 / x).log_an, x Î R - {0}

Uyarı: m ≠ 0 ve n, m Î R olamk üzere, log_a^mbⁿ = (n / m).log_ab