Karmaşık Sayılar

a, b birer gerçel sayı ve i² = -1 olmak üzere a + ib bişimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir ve    Z = a + ib şeklinde gösterilir.

Karmaşık Sayılar Kümesi: (C)

Karmaşık sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık sayılar kümesi denir ve C ile gösterilir.

C = { Z : Z = a + ib, a, b Î R, i² = -1 }

Sanal Sayı Biriminin Kuvvetleri:

i² = -1 ise i³ = i².i    ve    i⁴ = (i²)²

                       = (-1).i            = (-1)²

                       = -i                  = 1

n pozitif sayı olmak üzere, i⁴ = 1 ise i⁴ⁿ = 1 dir.

Buna göre,

• i⁴ⁿ = 1
• i⁴ⁿ⁺¹ = i
• i⁴ⁿ⁺² = -1
• i⁴ⁿ⁺³ = -i

ifadelerinde görüldüğü gibi i nin kuvvetlerinden 4 ün tamsayı katları atılır.

Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

i⁶¹ - i⁸³ + i⁷⁴

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

i⁶¹ - i⁸³ + i⁷⁴ = i⁶⁰⁺¹ - i⁸⁰⁺³ + i⁷²⁺²

                   = i - i³ + i²

                   = i + i -1

                   = 2i - 1

Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

i^-2 + i^-3 + i^-4 + i^-5

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

i^-2 + i^-3 + i^-4 + i^-5 = i^-4+2 + i^-4+1 + i^-4+0 +i^-8+3

                              = i² + i¹ + i⁰ + i³

                              = -1 + i + 1 -i

                              = 0

Karmaşık Sayının Gerçel İmajiner Kısmı:

Z = a + ib karmaşık sayısında, a ya karmaşık sayının gerçel (reel) kısmı denir ve Re(Z) ile gösterilir.

Z = a + ib ise Re(Z) = a

Z = a + ib karmaşık sayısında b ye karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(Z) ile gösterilir.

Z = a + ib ise İm(Z) = b

Buna göre, Z = a + ib karmaşık sayısı Re(Z) = a ve İm(Z) = b olmak üzere,

Z = Re(Z) + i.İm(Z)

biçiminde de gösterilir.

Örnekler:

• Z = 8 + 2i ise Re(Z) = 8, İm(Z) = 2
• Z = -5i ise Re(Z) = 0, İm(Z) = -5
• Z = 4 ise Re(Z) = 4, İm(Z) = 0

İki Karmaşık Sayının Eşitliği:

a, b, c ve d gerçel sayı ve i2 = -1 olmak üzere, iki karmaşık sayı Z₁ = a + ib ve Z₂ = c + id olsun.

      Z₁ = Z₂

a + ib = c + id ise a = c ve b = d 

İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için gerçel kısımları ve reel kısımları ve sanal kısımları birbirine eşit olmalıdır.

Örnek:

i² = -1 ve x ile y birer reel sayı olmak üzere, 

Z₁ = x -5i

Z₂ = 2x - y + xi

Z₁ = Z₂ olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır ?

Çözüm:

Z1 = Z2 ise x - 5i = 2x - y + xi

x = -5 ve x = 2x - y

                y = x

                y = -5

O halde, x + y = (-5) + (-5) = -10 dur.

Örnek:

i² = -1 ve a ile b birer reel sayı olmak üzere,

2a - 3 + bi - 2i = b + 1 + ai + 4i

olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

Çözüm:

  2a - 3 + bi - 2i = b + 1 + ai + 4i

2a -3 + i.(b - 2) = b + 1 + i(a + 4)

2a - 3 = b + 1       ve    b - 2 = a + 4

2a - 3 = a + 6 + 1              b = a + 6

a = 10

a = 10 için b = a + 6

b = 16

O hade, a.b = 10.16 = 160 dır.

Karmaşık Düzlem

Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları arasında bire bir ve örten bir eşleşme yapılabilir.

Bu eşleşmede a + ib karmaşık sayısına analitik düzlemde (a, b) noktası ve analitik düzlemdeki (a, b) noktasına da a + ib karmaşık sayısı karşılık gelir.

Karmaşık sayılarda bire bir eşlenen düzleme karmaşık düzlem denir.

• a + ib sayısına (a, b) noktası, (a, b) noktasına da a + ib karmaşık sayısı karşılık gelir. Z = a + ib = (a, b)
• 0 + 0i karmaşık sayısı O(0, 0) başlangıç noktasına karşılık gelir.
• a + 0i karmaşık sayıları (a, 0) = a olduğundan analitik düzlemdeki x ekseni ile eşlenir ve x eksenine gerçel (reel) eksen denir.
• 0 + bi karmaşık sayıları (0, b) = bi olduğundan analitik düzlemdeki y ekseni ile eşlenir ve y eksenine sanal (imajiner) eksen denir.

Karmaşık Sayının Eşleniği:

a, b gerçel sayı olmak üzere, a - ib karmaşık sayısına a + ib karmaşık sayısının eşleniği denir ve Z karmaşık sayısının eşleniği Z ile gösterilir.

Z = a + ib ise Z = a - ib

 Örnekler:

•  Z = 1 + 2i sayısının eşleniği; Z = 1 - 2i
•  Z = -5 + 3i sayısının eşleniği; Z = -5 - 3i
•  Z = -8 sayısının eşleniği; Z = -8
•  Z = 4i sayısının eşleniği; Z = -4i

 Eşleniğin Özellikleri:

x ve y karmaşık sayılar olmak üzere,

x + y = x + y

x . y = x . y 

x  / y  =  x / y 

(x ³n)  = (x)³n

Örnek:

i₂ = -1 ve x ile y birer reel sayı olmak üzere,

Z₁ = 2x - 5 + 4i

Z₂ = 4 - x + iy - 3i

Z₁ = Z₂ olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

Çözüm:

 Z₁ = 2x - 5 + 4i ise Z₁ = 2x - 5 - 4i 

            Z₁ = Z₂

 2x - 5 - 4i = 4 - x + iy - 3i

 2x - 5 - 4i = 4 - x + i.(y - 3)

2x - 5 = 4 - x   ve -4 = y - 3

        x = 3               y = -1

O halde, x.y = 3.(-1) = -3 tür. 

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi:

a, b, c, d birer gerçel sayı olmak üzere,

Z₁ = a + ib ve Z₂ = c + id

olsun.

• Z₁ + Z₂ = (a + c) + i(b + d)
• Z₁ - Z₂ = (a - c) + i(b -d)

Örnek:

Z₁ = 2 - i

Z₂ = -3 + 2i

olduğuna göre 2Z₁ - 3Z₂ karmaşık sayısı kaçtır?

Çözüm:

2Z₁ - 3Z₂ = 2(2 - i) - 3(-3 + 2i)

= 4 - 2i + 9 - 6i

= 13 - 8i

Karmaşık Sayılarda Çarpma işlemi:

a, b, c, d birer gerçel sayı olmak üzere,

Z₁ = a + ib ve Z₂ = c + id olsun.

Z₁.Z₂ = (a + ib).(c + id)

          = a.c + i.a.d + i.b.c + i².b.d 

          = (a.c - b.d) + i(a.d + b.c)

Örnek:

i² = -1 olmak üzere,

Z₁ = 1 - 2i

Z₂ = 1 + 2i

olduğuna göre Z₁.Z₂ karmaşık sayısı kaçtır?

Çözüm:

Z₁.Z₂ = (1 - 2i).(1 + 2i)

           = 1 + 2i - 2i - 4i²

           = 1 + 4

           = 5

Örnek:

i² = -1 olmak üzere,

-3i(2 - i) + (1 - 2i).(1 + i)

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

-3i(2 - i) + (1 - 2i).(1 + i) = -6i + 3i² + 1 + i - 2i - 2i²

                                       = -7i

Örnek:

i² = -1 olmak üzere,

(1 - i)⁶

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

(1 - i)⁶ = [(1 - i)²]³

            = (1 -2i + i²)³

            = (-2i)³

            = (-2)³.i³

            = -8.(-i)

            = 8i