2. Ve 3. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçel sayı olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Eğer varsa, bu denklemi sağlayan x gerçel sayılarına denklemin kökleri, bu köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, a, b, ve c sayılarına da denklemin katsayıları denir.
Örnek:
(a + 2)x3 + xb+1 + (a - b)x - 3 = 0
ifadesi x değişkenine bağlı II. dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır ?
Çözüm:
(a + 2)x3 + xb+1 + (a - b)x - 3 = 0 ifadesinin II. dereceden bir denklem olabilmesi için,
(a + 2) = 0 ve (b + 1) = 2 olmalıdır.
a = -2 b =1
O halde, a.b = (-2).1 = -2 dir.
II. Dereceden Denklemin Çözüm Kümesini Bulma:
a) Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
ax2 + bx + c = 0 denklemi çarpanlarına ayrıldıktan sonra, her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek x değerleri bulunur.
f(x).g(x) = 0 ise, f(x) = 0 veye g(x) = 0 dır.
Örnek:
3x2 - 6x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
3x2 - 6x = 0 ise 3x.(x - 2) = 0
3x = 0 veye x -2 = 0
x = 0 ya da x = 2
O halde, denklemin çözüm kümesi Ç = {0, 2} dir.
Örnek:
x2 - 2x -8 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x2 -2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 veye x = -2
Ç = {-2, 4}
Örnek:
x2 + 16 = 0
denleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir ?
A) {-4} B) {0} C) { } D{2} E{4}
Çözüm:
x2 + 16 = 0 olabilmesi için, x2 = -16 olmalıdır.
Hiç bir reel sayının karesi negatif olmadığı için bu denklemin reel bir kökü yoktur.
Ç = { } (Cevap: C)
b) Diskriminant (Δ) Yöntemi:
a ≠ 0 olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
Δ = b2 - 4ac olmak üzere,
|
x1,2 = |
-b ± √Δ |
| 2a |
Örnek:
x2 + 10x + 25 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir ?
A) {-5, 5} B) {5} C) {0, -5} D) {-5} E) {0, 5}
Çözüm:
I. Yol:
x2 + 10x + 25 = 0 ise, (x + 5)2 = 0
x1 = x2 = -5
II. Yol:
x2 + 10x + 25 = 0 denkleminde a =1 b = 10 ve c = 25 tir.
Δ = b2 - 4.a.c = 100 - 4.1.25 = 0
Denklemin kökleri:
|
x1,2 = |
-b ± √Δ |
= |
x1,2 = |
-10 ± √0 | = -5 |
| 2a | 2.1 |
Çözüm kümesi Ç = {-5} (Cevap: D)
| Uyarı: ax2 + bx + c denkleminin kökleri için aşağıdaki sonuçlar çıkartılır
|
|
| Δ > 0 ise | Denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır. x1 ≠ x2 ve x1, x2 Î R |
| Δ = 0 ise | Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır. x1 = x2 ve x1, x2 Î R |
| Δ < 0 ise | Denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi Æ dir. x1, x2 Ï R |
Örnek:
2x2 - (m +1)x + 2 = 0
denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre, m nin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır ?
Çözüm:
2x2 - (m +1) + 2 = 0 denkleminin birbirine eşit iki reel kökünün olabilmesi için Δ = 0 olmalıdır.
Δ = b2 -4.a.c = (m +1)2 - 4.2.2 = 0
(m + 1) = 16
m +1 = 4 veya m + 1 = -4
m = 3 veya m = -5
O halde, m nin alabileceği değerlerin toplamı: 3 + (-5) = -2 dir.
Örnek:
4x2 - 12x + m + 5 = 0
denkleminin iki reel kökü olduğuna göre, m nin alabileceği en geniş çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
4x2- 12x + m + 5 = 0 denkleminin iki reel kökü olduğuna göre, Δ ≥ 0 dır.
Δ ≥ 0 ise b2 - 4.a.c ≥ 0
(-12)2 - 4.4(m + 5) ≥ 0
144 ≥ 16(m + 5)
9 ≥ m + 5
m ≤ 4
ax2 + bx + c = 0 Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağlantılar:
ax2 + bx + c = 0 denkleminde Δ > 0 olmak üzere,
|
x1 = |
-b + √Δ |
| 2a |
|
x2 = |
-b - √Δ |
| 2a |
olmak üzere,
|
Kökler toplamı = x1 + x2 = |
-b |
| a |
|
Kökler çarpımı = x1.x2 = |
-b |
| a |
|
Köklerin mutlak değeri = |x1 - x2| = |
-√Δ |
| |a| |
Örnek:
x2 + 6x - 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre x1 + x2 + x1.x2 ifadesinin değeri kaçtır ?
Çözüm:
x1 + x2 = -6 / 1 = -6
x1.x2 = -4 / 1 = -4
x1 + x2 + x1.x2 = -10
Örnek:
x2 + 3x - m -2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2x1 + x2 = -4
olduğuna göre, m kaçtır ?
Çözüm:
x1 + x2 = -b / a = -3
-x1 - x2 = 3
+ 2x1 + x2= -4
x1 = -1
(-1)2 + 3(-1) - m - 2 = 0
1 -3 -m -2 = 0
-4 - m = 0
m = -4
Kökleri Verilen II. Dereceden Denklemi Bulma:
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
x1 + x2 = -b / a ve x1.x2 = c / a dır.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a ile bölelim.
x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
O halde, kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem
x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0dir.
Örnek:
Kökleri -5 ve 2 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözüm:
x1 = -5 ve x2 = 2 olduğuna göre,
x1 + x2 = -3 ve x1.x2 = -10
x2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
x2 - (-3)x + (-10) = 0
x2 + 3x - 10 = 0
Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemler:
İçinde benzer ifade bulunan denklemleri çözmek için, benzer ifadelerin yerine bir başka bilinmeyen yazılarak denklem çözülür.
Örnek:
x4 - 3x2 - 4 = 0
denkleminin reel köklerinin çarpımı kaçtır ?
Çözüm:
x4 - 3x2 - 4 = 0 denkleminde x2 yerine a diyelim.
a2 - 3a - 4 = 0 ise (a - 4)(a + 1) = 0
a = 4 veya a = -1 dir.
x2 = 4 ise x değerleri -2 ve 2 dir.
x2 değeri -1 e eşit olamayacağından dolayı bu denklemin iki kökü vardır.
Kökler çarpımı = (-2).2 = -4 tür.
III. Dereceden Denklemler
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçel sayı olmak üzere,
ax3 + bx2 + cx +d = 0
ifadesine üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Üçüncü dereceden denklemin çözüm kümesi için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
Örnek:
x3 + x2 - 2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x3 + x2 - 2x = 0 ise x.(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = 1, ve x3 = -2
Ç= {-2, 0, 1}
III. Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arsasındaki Bağlantılar:
a ≠ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun.
|
x1 + x2 + x3 = |
-b |
| a |
|
x1 . x2 . x3 = |
-d |
| a |
|
x1 . x2 + x2 .x3 + x1.x3 = |
c |
| a |
Örnek:
x3 - 2x2 - 9x + 18 = 0
denkleminin kökler çarpımı kaçtır ?
Çözüm:
I. Yol:
x3 - 2x2 - 9x + 18 = 0 ise x2(x - 2) - 9(x - 2) = 0
(x2 - 9)(x - 2) = 0
(x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0
x1 = 3, x2 = -3, x3 = 2
Kökler çarpımı = 3.(-3).2 = -18
II. Yol:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 için
Kökler çarpımı x1.x2.x3 = -d / a dır.
Yani;
x3 - 2x2 - 9x + 18 = 0 için
x1.x2.x3 = -18 / 1 = -18